Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько таких слов может составить Артём?

Для того чтобы посчитать, сколько пятибуквенных слов может составить Артём из букв своего имени, давайте сначала разберёмся с буквами, которые у нас есть, и условиями, которые он установил. **Шаг 1: Определяем буквы в имени Артём.** В имени "Артём" у нас есть следующие буквы: - А (гласная) - р (согласная) - т (согласная) - ё (гласная) - м (согласная) Таким образом, мы имеем 5 уникальных букв: А, р, т, ё, м. **Шаг 2: Условия для составления слов.** 1. **Не повторять буквы**: Это значит, что каждую букву можно использовать только один раз в слове. 2. **Не ставить гласные первыми и последними одновременно**: У нас есть две гласные (А и ё). Это значит, что в слове не может быть расположена гласная буква на первой и последней позициях. **Шаг 3: Определяем разрешённые позиции для гласных.** Чтобы соответствовать второму правилу, у нас есть два варианта местоположения гласных: - Гласная на первой позиции и согласная на последней. - Согласная на первой позиции и гласная на последней. - Согласные на обеих крайних позициях. **Шаг 4: Подсчитываем каждую конфигурацию.** 1. **Согласная на первой позиции и гласная на последней.** - Первая буква (согласная): можем выбрать из 4 согласных (р, т, м). - Позиции 2, 3 и 4 могут занимать любые из оставшихся 3 букв (2 согласные и 1 гласная). Таким образом, для первой позиции у нас 3 варианта (р, т, м). Для оставшихся 3 букв у нас 3! (факториал 3) вариантов, это 6. Значит, количество слов в этом случае: \(3 \times 6 = 18\). 2. **Гласная на первой позиции и согласная на последней.** - Первая буква (гласная): можем выбрать 2 варианта (А или ё). - Позиции 2, 3 и 4 могут занимать любые из оставшихся 3 букв (2 согласные и 1 гласная). Таким образом, для первой позиции у нас 2 варианта (А или ё). Для оставшихся 3 букв у нас 3! (факториал 3) вариантов, это 6. Значит, количество слов в этом случае: \(2 \times 6 = 12\). 3. **Согласные на обеих крайних позициях.** В таком случае: - Первая и последняя буквы (согласные): выбираем 2 из 3 согласных (р, т, м), что можно сделать различными способами, которые организованы в виде сочетаний. - Для двух крайних позиций (первая и последняя) у нас будут варианты (например, р и м), их количество будет \(C(3, 2) = 3\), а потом мы можем переставить их, что даст 2! = 2. Затем на позиции 2, 3 и 4 мы можем использовать оставшиеся буквы, что будет 3! (факториал 3) = 6. Таким образом, общее количество слов в этом случае: - \(3 \times 2 \times 6 = 36\). **Шаг 5: Суммируем все случаи.** Складываем найденные количества: - Слова с согласной на первой позиции и гласной на последней: 18 - Слова с гласной на первой и согласной на последней: 12 - Слова с согласными на обеих крайних позициях: 36 Итак, общее количество слов: \[ 18 + 12 + 36 = 66 \]. Таким образом, Артём может составить **66 различных пятибуквенных слов** из букв своего имени с соблюдением указанных правил.