Артём составляет пятибуквенные слова из букв своего имени. Он ввёл два правила: не повторять буквы в одном слове и не ставить гласные первыми и последними одновременно. Сколько…

Для того чтобы посчитать, сколько пятибуквенных слов может составить Артём из букв своего имени, давайте сначала разберёмся с буквами, которые у нас есть, и условиями, которые он установил.

Шаг 1: Определяем буквы в имени Артём. В имени "Артём" у нас есть следующие буквы:

• А (гласная)
• р (согласная)
• т (согласная)
• ё (гласная)
• м (согласная)

Таким образом, мы имеем 5 уникальных букв: А, р, т, ё, м.

Шаг 2: Условия для составления слов.

1. Не повторять буквы: Это значит, что каждую букву можно использовать только один раз в слове.
2. Не ставить гласные первыми и последними одновременно: У нас есть две гласные (А и ё). Это значит, что в слове не может быть расположена гласная буква на первой и последней позициях.

Шаг 3: Определяем разрешённые позиции для гласных. Чтобы соответствовать второму правилу, у нас есть два варианта местоположения гласных:

• Гласная на первой позиции и согласная на последней.
• Согласная на первой позиции и гласная на последней.
• Согласные на обеих крайних позициях.

Шаг 4: Подсчитываем каждую конфигурацию.

1. Согласная на первой позиции и гласная на последней.

   • Первая буква (согласная): можем выбрать из 4 согласных (р, т, м).
   • Позиции 2, 3 и 4 могут занимать любые из оставшихся 3 букв (2 согласные и 1 гласная).

   Таким образом, для первой позиции у нас 3 варианта (р, т, м). Для оставшихся 3 букв у нас 3! (факториал 3) вариантов, это 6. Значит, количество слов в этом случае: \(3 \times 6 = 18\).

2. Гласная на первой позиции и согласная на последней.

   • Первая буква (гласная): можем выбрать 2 варианта (А или ё).
   • Позиции 2, 3 и 4 могут занимать любые из оставшихся 3 букв (2 согласные и 1 гласная).

   Таким образом, для первой позиции у нас 2 варианта (А или ё). Для оставшихся 3 букв у нас 3! (факториал 3) вариантов, это 6. Значит, количество слов в этом случае: \(2 \times 6 = 12\).

3. Согласные на обеих крайних позициях. В таком случае:

   • Первая и последняя буквы (согласные): выбираем 2 из 3 согласных (р, т, м), что можно сделать различными способами, которые организованы в виде сочетаний.
   • Для двух крайних позиций (первая и последняя) у нас будут варианты (например, р и м), их количество будет \(C(3, 2) = 3\), а потом мы можем переставить их, что даст 2! = 2.

   Затем на позиции 2, 3 и 4 мы можем использовать оставшиеся буквы, что будет 3! (факториал 3) = 6.

   Таким образом, общее количество слов в этом случае:

   • \(3 \times 2 \times 6 = 36\).

Шаг 5: Суммируем все случаи. Складываем найденные количества:

• Слова с согласной на первой позиции и гласной на последней: 18
• Слова с гласной на первой и согласной на последней: 12
• Слова с согласными на обеих крайних позициях: 36

Итак, общее количество слов: \[ 18 + 12 + 36 = 66 \].

Таким образом, Артём может составить 66 различных пятибуквенных слов из букв своего имени с соблюдением указанных правил.