Решить задачи
Давайте разберём каждую задачу по порядку:
1. Найдите объём конуса, высота которого равна 12 см, а его образующая равна 13 см.
Решение: Для нахождения объёма конуса используем формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где \( V \) — объём, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.
Сначала найдем радиус \( r \) основания. Поскольку у нас есть образующая \( l = 13 \) см и высота \( h = 12 \) см, мы используем теорему Пифагора:
\[ l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 13^2 = r^2 + 12^2 \] \[ 169 = r^2 + 144 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5 \text{ см} \]
Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма:
\[ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi \text{ кубических сантиметров} \]
Ответ: \( 100 \pi \) куб. см
2. Найдите объём прямой призмы, диагональ её боковой грани равна 5 см, а высота 4 см.
Решение: Для нахождения объёма прямой призмы используем формулу:
\[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]
где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, \( h \) — высота.
Так как высота равна 4 см, нужно найти одно из оснований.
Используем теорему Пифагора для боковой грани (прямоугольник). Пусть \( a \) будет одной из сторон основания, тогда:
\[ 5^2 = a^2 + 4^2 \] \[ 25 = a^2 + 16 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \text{ см} \]
Теперь предположим, что основание призмы — квадрат со сторонами 3 см (так как других данных нет). Его площадь будет:
\[ S_{\text{осн}} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ кв. см} \]
Подставим значения в формулу объёма:
\[ V = 9 \cdot 4 = 36 \text{ куб. см} \]
Ответ: 36 куб. см
3. Образующая конуса равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём конуса.
Решение: Для нахождения объёма используем формулу:
\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]
где \( V \) — объём, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота.
В этой задаче:
- Образующая \( l = 10 \) см.
- Угол наклона образующей к основанию (к высоте) \( \theta = 60^\circ \).
В тригонометрическом треугольнике:
\[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{l} \]
Поэтому:
\[ \frac{1}{2} = \frac{h}{10} \Rightarrow h = 5 \text{ см} \]
Теперь найдём \( r \) используя:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{r}{l} \]
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{10} \Rightarrow r = 5\sqrt{3} \text{ см} \]
Теперь найдём объём:
\[ V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 (5) = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 125\pi \text{ кубических сантиметров} \]
Ответ: \( 125\pi \) куб. см
Если есть вопросы, пожалуйста, напишите!
