Решить задачи

Давайте разберём каждую задачу по порядку: ### 1. Найдите объём конуса, высота которого равна 12 см, а его образующая равна 13 см. **Решение:** Для нахождения объёма конуса используем формулу: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( V \) — объём, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота. Сначала найдем радиус \( r \) основания. Поскольку у нас есть образующая \( l = 13 \) см и высота \( h = 12 \) см, мы используем теорему Пифагора: \[ l^2 = r^2 + h^2 \Rightarrow 13^2 = r^2 + 12^2 \] \[ 169 = r^2 + 144 \Rightarrow r^2 = 25 \Rightarrow r = 5 \text{ см} \] Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма: \[ V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi \text{ кубических сантиметров} \] ### Ответ: \( 100 \pi \) куб. см --- ### 2. Найдите объём прямой призмы, диагональ её боковой грани равна 5 см, а высота 4 см. **Решение:** Для нахождения объёма прямой призмы используем формулу: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \] где \( S_{\text{осн}} \) — площадь основания, \( h \) — высота. Так как высота равна 4 см, нужно найти одно из оснований. Используем теорему Пифагора для боковой грани (прямоугольник). Пусть \( a \) будет одной из сторон основания, тогда: \[ 5^2 = a^2 + 4^2 \] \[ 25 = a^2 + 16 \Rightarrow a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 \text{ см} \] Теперь предположим, что основание призмы — квадрат со сторонами 3 см (так как других данных нет). Его площадь будет: \[ S_{\text{осн}} = 3 \cdot 3 = 9 \text{ кв. см} \] Подставим значения в формулу объёма: \[ V = 9 \cdot 4 = 36 \text{ куб. см} \] ### Ответ: 36 куб. см --- ### 3. Образующая конуса равна 10 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите объём конуса. **Решение:** Для нахождения объёма используем формулу: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \( V \) — объём, \( r \) — радиус основания, \( h \) — высота. В этой задаче: - Образующая \( l = 10 \) см. - Угол наклона образующей к основанию (к высоте) \( \theta = 60^\circ \). В тригонометрическом треугольнике: \[ \cos(60^\circ) = \frac{h}{l} \] Поэтому: \[ \frac{1}{2} = \frac{h}{10} \Rightarrow h = 5 \text{ см} \] Теперь найдём \( r \) используя: \[ \sin(60^\circ) = \frac{r}{l} \] \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{10} \Rightarrow r = 5\sqrt{3} \text{ см} \] Теперь найдём объём: \[ V = \frac{1}{3} \pi (5\sqrt{3})^2 (5) = \frac{1}{3} \pi \cdot 75 \cdot 5 = 125\pi \text{ кубических сантиметров} \] ### Ответ: \( 125\pi \) куб. см Если есть вопросы, пожалуйста, напишите!