В треугольнике � � � MNK ∠ � = 90 ° ∠M=90° , ∠ � = 45 ° ∠N=45° , � � = 27√2 MN=27 2 . Чему равна гипотенуза этого треугольника?
Рассмотрим треугольник \( MNK \) с заданными углами: \( \angle M = 90^\circ \), \( \angle N = 45^\circ \), и следовательно, \( \angle K = 45^\circ \) (так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \)). Это означает, что треугольник \( MNK \) является равнобедренным прямоугольным треугольником, где углы \( N \) и \( K \) равны.
Так как треугольник равнобедренный, обе стороны, прилегающие к углу \( M \) (то есть стороны \( MN \) и \( MK \)), равны. Для удобства обозначим обе эти стороны как \( a \).
Из условия задачи известно, что \( MN = 27\sqrt{2} \).
Определим стороны: Поскольку треугольник равнобедренный и \( MN = 27\sqrt{2} \), то \( MK = 27\sqrt{2} \) также.
Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике гипотенуза \( HK \) связана с катетами \( MN \) и \( MK \) по формуле: \[ HK^2 = MN^2 + MK^2 \] Подставим значения: \[ HK^2 = (27\sqrt{2})^2 + (27\sqrt{2})^2 \]
Вычислим квадрат катетов: \[ (27\sqrt{2})^2 = 27^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 729 \cdot 2 = 1458 \] Теперь подставим это значение в формулу: \[ HK^2 = 1458 + 1458 = 2916 \]
Найдём гипотенузу: Теперь извлечем квадратный корень из \( HK^2 \): \[ HK = \sqrt{2916} \] Так как \( 2916 = 54^2 \), получим: \[ HK = 54 \]
Итак, гипотенуза треугольника \( MNK \) равна \( 54 \).
