Решить уравнения

Рассмотрим уравнение: \[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{4x^2 - 9} = \frac{3x}{2x+3}. \] Первый шаг — упростить выражения. Отметим, что \(4x^2 - 9\) можно разложить как разность квадратов: \[ 4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3). \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \frac{2x}{2x-3} - \frac{15 - 32x^2}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{3x}{2x+3}. \] Найдем общий знаменатель. Им будет \((2x-3)(2x+3)\). Перепишем уравнение, приведенное к общему знаменателю: \[ \frac{2x(2x+3) - (15 - 32x^2) - 3x(2x-3)}{(2x-3)(2x+3)} = 0. \] Числитель: \[ 2x(2x+3) = 4x^2 + 6x, \] \[ 3x(2x-3) = 6x^2 - 9x. \] Подставим в числитель: \[ 4x^2 + 6x - (15 - 32x^2) - 6x^2 + 9x = 0. \] Упростим: \[ 4x^2 + 6x - 15 + 32x^2 - 6x^2 + 9x = 0. \] Соберем подобные: \[ (4x^2 + 32x^2 - 6x^2) + (6x + 9x) - 15 = 0, \] \[ 30x^2 + 15x - 15 = 0. \] Разделим все на 15: \[ 2x^2 + x - 1 = 0. \] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9. \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4}. \] \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1. \] Проверим ограничения, чтобы избежать деления на ноль. Знаменатели \((2x-3)\) и \((2x+3)\) не могут быть равны нулю. Для \((2x-3)\): \[ 2x-3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}. \] Для \((2x+3)\): \[ 2x+3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}. \] Ни \(x = \frac{1}{2}\) ни \(x = -1\) не приводят к делению на ноль, поэтому это решения уравнения. Ответ: \(x = \frac{1}{2}\) и \(x = -1\).