y=5x²-20x+3
Для понимания задачи, давайте проанализируем функцию \( y = 5x^2 - 20x + 3 \) — это квадратная функция (парабола). Мы рассмотрим несколько важных аспектов, связанных с данной функцией.
Шаг 1: Определение функции
Функция имеет вид: \[ y = ax^2 + bx + c \] где:
- \( a = 5 \)
- \( b = -20 \)
- \( c = 3 \)
Шаг 2: Определение направления параболы
Поскольку \( a > 0 \) (в данном случае \( a = 5 \)), парабола открывается вверх.
Шаг 3: Нахождение вершины параболы
Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставим наши значения: \[ x = -\frac{-20}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 \]
Теперь подставим \( x = 2 \) обратно в уравнение, чтобы найти \( y \): \[ y = 5(2)^2 - 20(2) + 3 \] \[ y = 5 \cdot 4 - 40 + 3 \] \[ y = 20 - 40 + 3 = -17 \]
Таким образом, координаты вершины параболы: \( (2, -17) \).
Шаг 4: Нахождение корней уравнения
Чтобы найти корни уравнения, когда \( y = 0 \): \[ 5x^2 - 20x + 3 = 0 \] Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-20)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 400 - 60 = 340 \]
Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
Теперь находим корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{20 \pm \sqrt{340}}{10} \] Упростим \( \sqrt{340} = \sqrt{4 \cdot 85} = 2\sqrt{85} \): \[ x = \frac{20 \pm 2\sqrt{85}}{10} = 2 \pm \frac{\sqrt{85}}{5} \]
Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 2 + \frac{\sqrt{85}}{5} \] \[ x_2 = 2 - \frac{\sqrt{85}}{5} \]
Шаг 5: Построение графика
На графике функция будет представлять собой параболу, которая:
- имеет вершину в точке \( (2, -17) \),
- пересекает ось абсцисс в точках \( x_1 \) и \( x_2 \),
- проходит через ось ординат в точке \( y = 3 \) (при \( x = 0 \)).
Итог
Мы нашли вершину, корни и определили направление параболы: это открытая вверх парабола, с вершиной в точке \( (2, -17) \) и двумя корнями, которые можно выразить через \( \sqrt{85} \).
Если у вас есть дополнительные уточнения или вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
