Давайте решим уравнение:
[
\frac{x^2}{x^2 - 5} = \frac{4 - 3x}{x^2 - 5}
]
Шаг 1: Упрощение уравнения
Поскольку в данном уравнении знаменатели одинаковые, можно избавиться от них (при условии, что (x^2 - 5 \neq 0)) и записать уравнение так:
[
x^2 = 4 - 3x
]
Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду
Теперь мы можем перенести все члены на одну сторону уравнения:
[
x^2 + 3x - 4 = 0
]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь решим получившееся квадратное уравнение. Чтобы найти корни, можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = 3), (c = -4).
Шаг 4: Подставим значения в формулу
Сначала найдем дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
]
Шаг 5: Находим корни
Теперь подставим дискриминант в формулу:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}
]
Это дает нам два возможных значения для (x):
- (x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1)
- (x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4)
Шаг 6: Запись корней в порядке возрастания
Корни уравнения: (x_1 = -4) и (x_2 = 1). Теперь запишем их в порядке возрастания:
[
x_1 = -4, \quad x_2 = 1
]
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = -4, \quad x_2 = 1
]
