Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать принцип сохранения энергии для идеальной жидкости и уравнение Бернулли. Давайте рассмотрим все шаги.
Дано:
- Расход воды в трубе ( Q = 0,025 , \text{м}^3/\text{с} )
- Избыточное давление ( p_1 = 49 , \text{kPa} )
- Диаметр первого сечения ( d_1 = 100 , \text{мм} = 0,1 , \text{м} )
- Диаметр второго сечения ( d_2 = 50 , \text{мм} = 0,05 , \text{м} )
- Потерями напора пренебречь.
Шаг 1: Найдем скорости потока в трубах
Скорость потока ( v ) в трубах можно найти из уравнения расхода:
[
Q = A \cdot v
]
где ( A ) — площадь сечения трубы.
Площадь сечения вычисляется по формуле:
[
A = \frac{\pi d^2}{4}
]
Для первого сечения (( d_1 = 0,1 , \text{м} )):
[
A_1 = \frac{\pi (0,1)^2}{4} = \frac{\pi (0,01)}{4} \approx 0,00785 , \text{м}^2
]
Теперь найдем скорость ( v_1 ):
[
v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0,025}{0,00785} \approx 3,18 , \text{м/с}
]
Для второго сечения (( d_2 = 0,05 , \text{м} )):
[
A_2 = \frac{\pi (0,05)^2}{4} = \frac{\pi (0,0025)}{4} \approx 0,00196 , \text{м}^2
]
Теперь найдем скорость ( v_2 ):
[
v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0,025}{0,00196} \approx 12,76 , \text{м/с}
]
Шаг 2: Применим уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли между двумя точками в потоке можно записать так:
[
p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2
]
Мы возьмем за уровень ( h_1 = 0 ) и ( h_2 = h ) — высота, на которую поднимется вода.
Считаем, что давление ( p_2 ) атмосферное, то есть ( p_2 = 0 ).
Теперь подставим известные значения, предполагая, что плотность воды ( \rho = 1000 , \text{кг/м}^3 ):
[
49 \times 10^3 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3,18)^2 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (12,76)^2 + 1000 \cdot g \cdot h
]
Сначала нужно вычислить кинетическую энергию:
[
49 \times 10^3 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 10,1284 = 0 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 162,1876 + 1000 \cdot g \cdot h
]
[
49 \times 10^3 + 5064,2 = 81093,8 + 1000 \cdot g \cdot h
]
Теперь подставим ( g \approx 9,81 , \text{м/с}^2 ):
[
49 \times 10^3 + 5064,2 = 81093,8 + 9810h
]
Считаем ( h ):
[
49464,2 = 81093,8 - 9810h
]
Решаем уравнение:
[
9810h = 81093,8 - 49464,2
]
[
9810h = 31629,6
]
[
h = \frac{31629,6}{9810} \approx 3,22 , \text{м}
]
Ответ:
Вода поднимется на высоту примерно ( 3,22 , \text{м} ).
