Известны координаты двух противоположных вершин квадрата АВСD (вершины перечислены против часовой стрелки): D(2;-2) ltimes B(- 2; 2) Определи координаты двух других вершин. Сколько решений имеет задача? Ответ: координаты вершины А Координаты вершины Задача имеет
Чтобы определить координаты двух других вершин квадрата ABCD, зная координаты двух противоположных вершин D(2, -2) и B(-2, 2), мы можем воспользоваться свойствами квадрата.
1. **Запиши известные координаты:**
- D(2, -2)
- B(-2, 2)
2. **Найди центр квадрата:**
Центр квадрата находится на середине отрезка, соединяющего противоположные вершины. Координаты центра O вычисляются по формуле:
\[
O_x = \frac{x_D + x_B}{2}, \quad O_y = \frac{y_D + y_B}{2}
\]
Подставим значения координат:
\[
O_x = \frac{2 + (-2)}{2} = \frac{0}{2} = 0
\]
\[
O_y = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0
\]
Значит, координаты центра квадрата O(0, 0).
3. **Вычисли длину стороны квадрата:**
Расстояние между вершинами D и B можно найти по формуле расстояния:
\[
d = \sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}
\]
Подставим значения:
\[
d = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
Это расстояние является диагональю квадрата. Длина стороны квадрата равна:
\[
a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4
\]
4. **Опроси координаты вершин A и C:**
Чтобы найти координаты оставшихся вершин A и C, нужно знать их положение относительно центра и деления по диагонали. Векторы от центра до вершин A и C, перпендикулярные вектору от D до B, имеют равные длины (равны длине стороны квадрата).
У нас есть вектор \( \overrightarrow{DB} = (-4, 4) \) (от D к B). Перпендикулярный ему будет вектор \( \overrightarrow{OA} = (4, 4) \) или \( \overrightarrow{OC} = (-4, -4) \).
5. **Координаты остальных вершин:**
Добавим вектор к координатам центра для A и вычтем для C:
- A(0 + 2, 0 + 2) = (2, 2)
- C(0 - 2, 0 - 2) = (-2, -2)
Таким образом, мы определили координаты всех вершин квадрата:
- A(2, 2)
- B(-2, 2)
- C(-2, -2)
- D(2, -2)
6. **Количество решений:**
Поскольку квадрат можно поворачивать, существует 2 возможных расположения для A и C относительно B и D. Однако координаты самих точек A и C будут постоянными и уникальными.
**Ответ:**
Координаты вершины A: (2, 2)
Координаты вершины C: (-2, -2)
Задача имеет одно уникальное решение относительно координат этих вершин, но 2 варианта расположения.
