Найдите четыре последовательных натуральных числа, если сумма квадратов второго и четвëртого из них на 166 больше, чем сумма квадратов первого и третьего
Для решения этой задачи давайте обозначим четыре последовательных натуральных числа. Обозначим первое число как \( n \). Тогда следующие три числа можно записать как:
- Первое число: \( n \)
- Второе число: \( n + 1 \)
- Третье число: \( n + 2 \)
- Четвертое число: \( n + 3 \)
Теперь нам необходимо составить уравнение на основе условия задачи. По условию, сумма квадратов второго и четвëртого чисел на 166 больше, чем сумма квадратов первого и третьего. Запишем это в виде уравнения:
\[ (n + 1)^2 + (n + 3)^2 = (n)^2 + (n + 2)^2 + 166 \]
Теперь разложим каждую часть:
- Левую сторону уравнения:
\[ (n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1 \] \[ (n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9 \]
Суммируем их:
\[ (n + 1)^2 + (n + 3)^2 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 6n + 9 = 2n^2 + 8n + 10 \]
- Правую сторону уравнения:
\[ (n)^2 = n^2 \] \[ (n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4 \]
Суммируем их:
\[ (n)^2 + (n + 2)^2 = n^2 + n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + 4n + 4 \]
Теперь подставим обе части обратно в уравнение:
\[ 2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 4 + 166 \]
Упростим правую часть:
\[ 2n^2 + 4n + 4 + 166 = 2n^2 + 4n + 170 \]
Теперь у нас получается:
\[ 2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 170 \]
Упростим уравнение, вычитая \( 2n^2 \) из обеих сторон:
\[ 8n + 10 = 4n + 170 \]
Теперь переместим все термины с \( n \) в одну сторону и константы в другую:
\[ 8n - 4n = 170 - 10 \]
Получим:
\[ 4n = 160 \]
Теперь решим для \( n \):
\[ n = \frac{160}{4} = 40 \]
Теперь, возвращаясь к нашим последовательным числам:
- Первое число: \( n = 40 \)
- Второе число: \( n + 1 = 41 \)
- Третье число: \( n + 2 = 42 \)
- Четвёртое число: \( n + 3 = 43 \)
Ответ:
Четыре последовательных натуральных числа: 40, 41, 42, 43.
