Для решения этой задачи давайте обозначим четыре последовательных натуральных числа. Обозначим первое число как ( n ). Тогда следующие три числа можно записать как:
- Первое число: ( n )
- Второе число: ( n + 1 )
- Третье число: ( n + 2 )
- Четвертое число: ( n + 3 )
Теперь нам необходимо составить уравнение на основе условия задачи. По условию, сумма квадратов второго и четвëртого чисел на 166 больше, чем сумма квадратов первого и третьего. Запишем это в виде уравнения:
[
(n + 1)^2 + (n + 3)^2 = (n)^2 + (n + 2)^2 + 166
]
Теперь разложим каждую часть:
- Левую сторону уравнения:
[
(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1
]
[
(n + 3)^2 = n^2 + 6n + 9
]
Суммируем их:
[
(n + 1)^2 + (n + 3)^2 = n^2 + 2n + 1 + n^2 + 6n + 9 = 2n^2 + 8n + 10
]
- Правую сторону уравнения:
[
(n)^2 = n^2
]
[
(n + 2)^2 = n^2 + 4n + 4
]
Суммируем их:
[
(n)^2 + (n + 2)^2 = n^2 + n^2 + 4n + 4 = 2n^2 + 4n + 4
]
Теперь подставим обе части обратно в уравнение:
[
2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 4 + 166
]
Упростим правую часть:
[
2n^2 + 4n + 4 + 166 = 2n^2 + 4n + 170
]
Теперь у нас получается:
[
2n^2 + 8n + 10 = 2n^2 + 4n + 170
]
Упростим уравнение, вычитая ( 2n^2 ) из обеих сторон:
[
8n + 10 = 4n + 170
]
Теперь переместим все термины с ( n ) в одну сторону и константы в другую:
[
8n - 4n = 170 - 10
]
Получим:
[
4n = 160
]
Теперь решим для ( n ):
[
n = \frac{160}{4} = 40
]
Теперь, возвращаясь к нашим последовательным числам:
- Первое число: ( n = 40 )
- Второе число: ( n + 1 = 41 )
- Третье число: ( n + 2 = 42 )
- Четвёртое число: ( n + 3 = 43 )
Ответ:
Четыре последовательных натуральных числа: 40, 41, 42, 43.
