Давайте решим каждую из задач по очереди, используя теорему Пифагора и другие соответствующие формулы.
Задача 1:
В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 см и 8 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Для нахождения гипотенузы ( c ) в прямоугольном треугольнике, где ( a ) и ( b ) — катеты, используется теорема Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
В нашем случае ( a = 15 ) см и ( b = 8 ) см. Подставим значения:
[
c^2 = 15^2 + 8^2
]
[
c^2 = 225 + 64
]
[
c^2 = 289
]
[
c = \sqrt{289} = 17 \text{ см}
]
Ответ: Гипотенуза равна 17 см.
Задача 2:
Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите периметр ромба.
Ромб имеет две диагонали, которые пересекаются друг с другом и делятся пополам. Давайте обозначим длины диагоналей как ( d_1 = 10 ) см и ( d_2 = 24 ) см.
Сначала найдем длины половин диагоналей:
[
\frac{d_1}{2} = 5 \text{ см}, \quad \frac{d_2}{2} = 12 \text{ см}
]
Теперь можем найти сторону ромба ( a ) с помощью теоремы Пифагора:
[
a^2 = 5^2 + 12^2
]
[
a^2 = 25 + 144
]
[
a^2 = 169
]
[
a = \sqrt{169} = 13 \text{ см}
]
Периметр ромба рассчитывается как:
[
P = 4a = 4 \times 13 = 52 \text{ см}
]
Ответ: Периметр ромба равен 52 см.
Задача 3:
Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза больше второго катета на 3 см. Найдите периметр треугольника.
Обозначим второй катет как ( b ). По условию:
[
c = b + 3
]
По теореме Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставляем ( a = 9 ) см и ( c = b + 3 ):
[
(b + 3)^2 = 9^2 + b^2
]
Раскроем скобки:
[
b^2 + 6b + 9 = 81 + b^2
]
Упрощаем уравнение:
[
6b + 9 = 81
]
[
6b = 72
]
[
b = 12 \text{ см}
]
Находим гипотенузу:
[
c = b + 3 = 12 + 3 = 15 \text{ см}
]
Теперь находим периметр ( P ):
[
P = a + b + c = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ см}
]
Ответ: Периметр треугольника равен 36 см.
Задача 4:
В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, высота, проведённая к основанию, равна 16 см. Найдите боковую сторону треугольника.
Обозначим боковые стороны как ( a ). Поскольку треугольник равнобедренный, высота делит основание на две равные части:
[
\frac{24}{2} = 12 \text{ см}
]
Теперь у нас образуется прямоугольный треугольник с катетом ( 12 ) см и высотой ( 16 ) см. Мы можем использовать теорему Пифагора:
[
a^2 = 12^2 + 16^2
]
[
a^2 = 144 + 256
]
[
a^2 = 400
]
[
a = \sqrt{400} = 20 \text{ см}
]
Ответ: Боковая сторона равна 20 см.
Задача 5:
Найдите сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 9 см.
Обозначим сторону равностороннего треугольника как ( a ). Высота ( h ) равностороннего треугольника выражается через сторону:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Подставим известное значение высоты:
[
9 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Решим уравнение:
[
a = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}
]
Приблизительно значение можно определить:
[
6\sqrt{3} \approx 6 \cdot 1.732 \approx 10.39 \text{ см}
]
Ответ: Сторона равностороннего треугольника примерно равна ( 10.39 ) см.
