y¹ = (6ctg⁷(x/8) - 7(5x³ + 9x)¹¹)¹
Рассмотрим задачу, которую вы предоставили:
\[ y' = (6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) - 7(5x^3 + 9x)^{11})' \]
Наша цель — найти производную функции \( y \) по переменной \( x \). Давайте разобьем задачу на несколько шагов для лучшего понимания.
Шаг 1: Применение правила дифференцирования
Производная сложной функции вычисляется с использованием правила дифференцирования, а именно:
Если \( y = u^{n} \), где \( u \) — какая-либо функция от \( x \), а \( n \) — степень, то по правилу производной:
\[ y' = n \cdot u^{(n-1)} \cdot u' \]
Для нашей функции мы имеем:
\[ u = 6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) - 7(5x^3 + 9x)^{11} \]
Теперь рассчитаем производную \( y' \) как сумму производных двух частей.
Шаг 2: Производная первой части
Первая часть, \( 6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) \), будет дифференцироваться по правилу:
- Пусть \( v = \cot(\frac{x}{8}) \), тогда \( v^7 \).
- Производная \( \cot(x) = -\csc^2(x) \), и используя цепное правило, получаем:
\[ v' = -\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8} \]
Теперь, производная \( 6 \cdot v^7 \):
\[ \frac{d}{dx}(6v^7) = 6 \cdot 7v^6 \cdot v' = 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) \]
Шаг 3: Производная второй части
Вторая часть — \( -7(5x^3 + 9x)^{11} \).
Здесь также применяем правило производной:
\[ u = 5x^3 + 9x \]
Производная \( u = 15x^2 + 9 \).
Теперь применяем:
\[ -7 \cdot 11u^{10} \cdot u' = -77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \]
Шаг 4: Суммирование результатов
Теперь мы можем объединить результаты производных обеих частей:
- Производная первой части:
\[ 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) \]
- Производная второй части:
\[ -77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \]
Шаг 5: Финальный ответ
Таким образом, полное выражение для производной \( y' \):
\[ y' = 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) - 77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \]
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти производную данной функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.
