Y¹ = (6ctg⁷(x/8) - 7(5x³ + 9x)¹¹)¹

Рассмотрим задачу, которую вы предоставили: \[ y' = (6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) - 7(5x^3 + 9x)^{11})' \] Наша цель — найти производную функции \( y \) по переменной \( x \). Давайте разобьем задачу на несколько шагов для лучшего понимания. ### Шаг 1: Применение правила дифференцирования Производная сложной функции вычисляется с использованием правила дифференцирования, а именно: Если \( y = u^{n} \), где \( u \) — какая-либо функция от \( x \), а \( n \) — степень, то по правилу производной: \[ y' = n \cdot u^{(n-1)} \cdot u' \] Для нашей функции мы имеем: \[ u = 6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) - 7(5x^3 + 9x)^{11} \] Теперь рассчитаем производную \( y' \) как сумму производных двух частей. ### Шаг 2: Производная первой части Первая часть, \( 6 \cdot \cot^7(\frac{x}{8}) \), будет дифференцироваться по правилу: - Пусть \( v = \cot(\frac{x}{8}) \), тогда \( v^7 \). - Производная \( \cot(x) = -\csc^2(x) \), и используя цепное правило, получаем: \[ v' = -\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8} \] Теперь, производная \( 6 \cdot v^7 \): \[ \frac{d}{dx}(6v^7) = 6 \cdot 7v^6 \cdot v' = 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) \] ### Шаг 3: Производная второй части Вторая часть — \( -7(5x^3 + 9x)^{11} \). Здесь также применяем правило производной: \[ u = 5x^3 + 9x \] Производная \( u = 15x^2 + 9 \). Теперь применяем: \[ -7 \cdot 11u^{10} \cdot u' = -77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \] ### Шаг 4: Суммирование результатов Теперь мы можем объединить результаты производных обеих частей: 1. Производная первой части: \[ 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) \] 2. Производная второй части: \[ -77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \] ### Шаг 5: Финальный ответ Таким образом, полное выражение для производной \( y' \): \[ y' = 42 \cdot \cot^6(\frac{x}{8}) \cdot \left(-\csc^2(\frac{x}{8}) \cdot \frac{1}{8}\right) - 77 \cdot (5x^3 + 9x)^{10} \cdot (15x^2 + 9) \] Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как найти производную данной функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.