Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м. Найдите длины сторон прямоугольника

Для решения задачи найдем длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь. Обозначим длину прямоугольника как \( a \), а ширину как \( b \). 1. **Запишем формулы для периметра и площади**: - Периметр \( P \) прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \] - Площадь \( S \) прямоугольника: \[ S = a \times b \] 2. **Подставим известные значения**: - Периметр равен 182 м: \[ 2(a + b) = 182 \] - Площадь равна 1830 м²: \[ a \times b = 1830 \] 3. **Упростим уравнение для периметра**: Разделим обе стороны первого уравнения на 2: \[ a + b = 91 \] 4. **Выразим одну переменную через другую**: Например, выразим \( b \): \[ b = 91 - a \] 5. **Подставим это выражение во второе уравнение**: Заменим \( b \) в уравнении площади: \[ a \times (91 - a) = 1830 \] Раскроем скобки: \[ 91a - a^2 = 1830 \] 6. **Перепишем уравнение в стандартной форме**: Переместим все элементы в одну сторону: \[ -a^2 + 91a - 1830 = 0 \] Умножим всё на -1 для удобства: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \] 7. **Решим квадратное уравнение**: Для решения уравнения используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \times 1 \times 1830 \] \[ D = 8281 - 7320 = 961 \] 8. **Найдём корни уравнения**: Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} \] \[ \sqrt{961} = 31 \] Таким образом, у нас два решения: \[ a = \frac{91 + 31}{2} = \frac{122}{2} = 61 \] \[ a = \frac{91 - 31}{2} = \frac{60}{2} = 30 \] 9. **Определим значения \( b \)**: Подставляем значения \( a \) обратно в уравнение \( b = 91 - a \): - Если \( a = 61 \): \[ b = 91 - 61 = 30 \] - Если \( a = 30 \): \[ b = 91 - 30 = 61 \] 10. **Итог**: Таким образом, длины сторон прямоугольника – 61 м и 30 м. **Ответ:** Длины сторон прямоугольника: 61 м и 30 м.