Периметр прямоугольника равен 182 м, а его площадь 1830 м. Найдите длины сторон прямоугольника

Для решения задачи найдем длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь.

Обозначим длину прямоугольника как \( a \), а ширину как \( b \).

1. Запишем формулы для периметра и площади:

   • Периметр \( P \) прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \]
   • Площадь \( S \) прямоугольника: \[ S = a \times b \]

2. Подставим известные значения:

   • Периметр равен 182 м: \[ 2(a + b) = 182 \]
   • Площадь равна 1830 м²: \[ a \times b = 1830 \]

3. Упростим уравнение для периметра: Разделим обе стороны первого уравнения на 2: \[ a + b = 91 \]

4. Выразим одну переменную через другую: Например, выразим \( b \): \[ b = 91 - a \]

5. Подставим это выражение во второе уравнение: Заменим \( b \) в уравнении площади: \[ a \times (91 - a) = 1830 \] Раскроем скобки: \[ 91a - a^2 = 1830 \]

6. Перепишем уравнение в стандартной форме: Переместим все элементы в одну сторону: \[ -a^2 + 91a - 1830 = 0 \] Умножим всё на -1 для удобства: \[ a^2 - 91a + 1830 = 0 \]

7. Решим квадратное уравнение: Для решения уравнения используем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-91)^2 - 4 \times 1 \times 1830 \] \[ D = 8281 - 7320 = 961 \]

8. Найдём корни уравнения: Корни квадратного уравнения находятся по формуле: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ a = \frac{91 \pm \sqrt{961}}{2} \] \[ \sqrt{961} = 31 \] Таким образом, у нас два решения: \[ a = \frac{91 + 31}{2} = \frac{122}{2} = 61 \] \[ a = \frac{91 - 31}{2} = \frac{60}{2} = 30 \]

9. Определим значения \( b \): Подставляем значения \( a \) обратно в уравнение \( b = 91 - a \):

   • Если \( a = 61 \): \[ b = 91 - 61 = 30 \]
   • Если \( a = 30 \): \[ b = 91 - 30 = 61 \]

10. Итог: Таким образом, длины сторон прямоугольника – 61 м и 30 м.

Ответ: Длины сторон прямоугольника: 61 м и 30 м.