укажите формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 9 испытаний Бернулли» 1. C⁴/9 2. C4/9p⁴q5 3. p⁴q5 4. 1-C4/9p⁴q5

Чтобы понять, как вычисляется вероятность наступления 4 успехов в серии из 9 независимых испытаний Бернулли, сначала разберем необходимые компоненты.

Объяснение

Испытания Бернулли — это такие испытания, в которых есть только два возможных исхода: успех (обычно обозначается как "1") и неуспех (обычно обозначается как "0"). Например, при броске монеты успехом может быть "орел", а неуспехом — "решка".

Формула для вероятности случая с фиксированным числом успехов в сериях испытаний Бернулли может быть записана как:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае 9),
• \( k \) — число успехов (в нашем случае 4),
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( q \) — вероятность неуспеха в одном испытании (где \( q = 1 - p \)),
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, означающий число способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний и расчитывается по формуле:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Применение формулы

Для нашей задачи:

• n = 9 (общее число испытаний)
• k = 4 (число успехов)

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = \binom{9}{4} p^4 q^{5} \]

Где:

• \( p^4 \) означает вероятность того, что успех будет достигнут 4 раза,
• \( q^5 \) означает вероятность того, что неуспех будет достигнут 5 раз.

Биномиальный коэффициент

Теперь вычислим биномиальный коэффициент:

\[ \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \]

Итоговая формула

Итак, окончательная вероятность будет выглядеть так:

\[ P(X = 4) = 126 p^4 q^5 \]

Сравнивая с предложенными вариантами:

1. C⁴/9
2. C4/9p⁴q^5 (это правильный вариант в контексте задачи)
3. p⁴q^5
4. 1-C4/9p⁴q^5

Правильный ответ: 2. C4/9p⁴q^5.