Чтобы понять, как вычисляется вероятность наступления 4 успехов в серии из 9 независимых испытаний Бернулли, сначала разберем необходимые компоненты.
Объяснение
Испытания Бернулли — это такие испытания, в которых есть только два возможных исхода: успех (обычно обозначается как "1") и неуспех (обычно обозначается как "0"). Например, при броске монеты успехом может быть "орел", а неуспехом — "решка".
Формула для вероятности случая с фиксированным числом успехов в сериях испытаний Бернулли может быть записана как:
[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} ]
где:
- ( n ) — общее число испытаний (в нашем случае 9),
- ( k ) — число успехов (в нашем случае 4),
- ( p ) — вероятность успеха в одном испытании,
- ( q ) — вероятность неуспеха в одном испытании (где ( q = 1 - p )),
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, означающий число способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний и расчитывается по формуле:
[
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Применение формулы
Для нашей задачи:
- n = 9 (общее число испытаний)
- k = 4 (число успехов)
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 4) = \binom{9}{4} p^4 q^{5}
]
Где:
- ( p^4 ) означает вероятность того, что успех будет достигнут 4 раза,
- ( q^5 ) означает вероятность того, что неуспех будет достигнут 5 раз.
Биномиальный коэффициент
Теперь вычислим биномиальный коэффициент:
[
\binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
]
Итоговая формула
Итак, окончательная вероятность будет выглядеть так:
[
P(X = 4) = 126 p^4 q^5
]
Сравнивая с предложенными вариантами:
- C⁴/9
- C4/9p⁴q^5 (это правильный вариант в контексте задачи)
- p⁴q^5
- 1-C4/9p⁴q^5
Правильный ответ: 2. C4/9p⁴q^5.
