?

Давайте разберём задачу. **Задача:** Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа. Обозначим эти числа как \( x \) и \( y \). ### Шаг 1: Используем данное о сумме \( x + y = 101 \). ### Шаг 2: Выразим одно число через другое Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \): \[ y = 101 - x \] ### Шаг 3: Работа с квадратами Разность квадратов чисел: \[ x^2 - y^2 \] Разность квадратов можно разложить как: \[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \] ### Шаг 4: Подставим известные значения Так как \( x + y = 101 \), то: \[ x^2 - y^2 = (x - y) \times 101 \] ### Шаг 5: Простое число Сказано, что \( x^2 - y^2 \) — простое число. Так как 101 — уже простое, то \( x - y \) должно быть равно 1 или -1. (Это единственные возможности для получения простого числа, так как 101 умножается на 1 или -1.) ### Шаг 6: Решение системы 1. Если \( x - y = 1 \): \[ x - y = 1 \] \[ x + y = 101 \] Решим эту систему: - Складывая уравнения: \[ 2x = 102 \] \[ x = 51 \] - Подставим значение \( x \) в одно из уравнений: \[ 51 + y = 101 \] \[ y = 50 \] Числа: 51 и 50. 2. Если \( x - y = -1 \): \[ x - y = -1 \] \[ x + y = 101 \] Решим эту систему: - Складывая уравнения: \[ 2x = 100 \] \[ x = 50 \] - Подставим значение \( x \) в одно из уравнений: \[ 50 + y = 101 \] \[ y = 51 \] Числа: 50 и 51. ### Итог: Итак, возможные числа: \( x = 51 \), \( y = 50 \) или наоборот, \( x = 50 \), \( y = 51 \). Таким образом, числа 51 и 50 удовлетворяют всем условиям задачи.