?
Давайте разберём задачу.
Задача: Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа.
Обозначим эти числа как \( x \) и \( y \).
Шаг 1: Используем данное о сумме
\( x + y = 101 \).
Шаг 2: Выразим одно число через другое
Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):
\[ y = 101 - x \]
Шаг 3: Работа с квадратами
Разность квадратов чисел:
\[ x^2 - y^2 \]
Разность квадратов можно разложить как:
\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \]
Шаг 4: Подставим известные значения
Так как \( x + y = 101 \), то:
\[ x^2 - y^2 = (x - y) \times 101 \]
Шаг 5: Простое число
Сказано, что \( x^2 - y^2 \) — простое число.
Так как 101 — уже простое, то \( x - y \) должно быть равно 1 или -1.
(Это единственные возможности для получения простого числа, так как 101 умножается на 1 или -1.)
Шаг 6: Решение системы
Если \( x - y = 1 \):
\[ x - y = 1 \]
\[ x + y = 101 \]Решим эту систему:
Складывая уравнения:
\[ 2x = 102 \]
\[ x = 51 \]Подставим значение \( x \) в одно из уравнений:
\[ 51 + y = 101 \]
\[ y = 50 \]
Числа: 51 и 50.
Если \( x - y = -1 \):
\[ x - y = -1 \]
\[ x + y = 101 \]Решим эту систему:
Складывая уравнения:
\[ 2x = 100 \]
\[ x = 50 \]Подставим значение \( x \) в одно из уравнений:
\[ 50 + y = 101 \]
\[ y = 51 \]
Числа: 50 и 51.
Итог:
Итак, возможные числа: \( x = 51 \), \( y = 50 \) или наоборот, \( x = 50 \), \( y = 51 \).
Таким образом, числа 51 и 50 удовлетворяют всем условиям задачи.
