Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии –4, 1, –1/4 , … .

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним формулу, по которой она рассчитывается. Сумма бесконечной геометрической прогрессии \( S \) может быть найдена с помощью следующей формулы:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

где:

• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( r \) — общее отношение (коэффициент) прогрессии, которое вычисляется как отношение второго члена к первому.

Шаг 1: Определение первого члена и общего отношения

В нашем случае первый член прогрессии: \[ a = -4 \]

Второй член: \[ \text{второй член} = 1 \] Таким образом, общее отношение \( r \) можно найти: \[ r = \frac{\text{второй член}}{a} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \]

Шаг 2: Проверка условия

Для того чтобы сумма бесконечной геометрической прогрессии существовала, необходимо, чтобы модуль общего отношения был меньше единицы: \[ |r| < 1 \]

В нашем случае: \[ |-1/4| = \frac{1}{4} < 1 \] Условие выполнено, поэтому сумма существует.

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставим значения в формулу для суммы: \[ S = \frac{-4}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} \] Упрощаем выражение в знаменателе: \[ S = \frac{-4}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{-4}{\frac{5}{4}} = -4 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{16}{5} \]

Ответ

Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии равна: \[ S = -\frac{16}{5} \]