В равнобедренном прямоугольном треугольникеABC гипотенузой является сторонаAB = 4 2 . Найдите угол между векторами ABи CA .Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CA} \) в равнобедренном прямоугольном треугольнике, начнем с понимания свойств треугольников и векторов.

Шаг 1: Определение треугольника

Равнобедренный прямоугольный треугольник \( ABC \) имеет следующие свойства:

• Углы \( A \) и \( C \) равны.
• Один из углов (угол \( B \)) равен \( 90^\circ \).
• Сторона \( AB \) (гипотенуза) равна \( 4 \sqrt{2} \).

Поскольку \( ABC \) является равнобедренным прямоугольным треугольником, стороны \( AC \) и \( BC \) равны, и мы можем обозначить их как длину \( x \).

Шаг 2: Применение теоремы Пифагора

По теореме Пифагора у нас есть: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Поскольку \( AC = BC = x \): \[ (4\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2 \] \[ 32 = 2x^2 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = 4 \]

Таким образом, \( AC = BC = 4 \).

Шаг 3: Координаты точек

Теперь определим координаты точек:

• Пусть \( A(0, 0) \) (начало координат).
• \( B(4, 0) \) (т. B находится на оси X).
• \( C(0, 4) \) (т. C на оси Y).

Шаг 4: Определение векторов

Теперь запишем векторы:

• \( \vec{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0) \)
• \( \vec{CA} = A - C = (0, 0) - (0, 4) = (0, -4) \)

Шаг 5: Угол между векторами

Чтобы найти угол \( \theta \) между векторами, мы можем использовать формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| |\vec{CA}|} \]

Шаг 6: Вычисляем скалярное произведение

Сначала находим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CA} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{CA} = (4, 0) \cdot (0, -4) = 4 \cdot 0 + 0 \cdot (-4) = 0 \]

Шаг 7: Находим длины векторов

Далее, находим длины векторов: \[ |\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4 \] \[ |\vec{CA}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4 \]

Шаг 8: Подставляем в формулу

Теперь подставим все полученные значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{0}{4 \cdot 4} = 0 \]

Поскольку \( \cos(\theta) = 0 \), это означает, что: \[ \theta = 90^\circ \]

Ответ

Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CA} \) равен 90 градусов.