Чтобы найти угол между векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{CA} ) в равнобедренном прямоугольном треугольнике, начнем с понимания свойств треугольников и векторов.
Шаг 1: Определение треугольника
Равнобедренный прямоугольный треугольник ( ABC ) имеет следующие свойства:
- Углы ( A ) и ( C ) равны.
- Один из углов (угол ( B )) равен ( 90^\circ ).
- Сторона ( AB ) (гипотенуза) равна ( 4 \sqrt{2} ).
Поскольку ( ABC ) является равнобедренным прямоугольным треугольником, стороны ( AC ) и ( BC ) равны, и мы можем обозначить их как длину ( x ).
Шаг 2: Применение теоремы Пифагора
По теореме Пифагора у нас есть:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Поскольку ( AC = BC = x ):
[
(4\sqrt{2})^2 = x^2 + x^2
]
[
32 = 2x^2
]
[
x^2 = 16
]
[
x = 4
]
Таким образом, ( AC = BC = 4 ).
Шаг 3: Координаты точек
Теперь определим координаты точек:
- Пусть ( A(0, 0) ) (начало координат).
- ( B(4, 0) ) (т. B находится на оси X).
- ( C(0, 4) ) (т. C на оси Y).
Шаг 4: Определение векторов
Теперь запишем векторы:
- ( \vec{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0) )
- ( \vec{CA} = A - C = (0, 0) - (0, 4) = (0, -4) )
Шаг 5: Угол между векторами
Чтобы найти угол ( \theta ) между векторами, мы можем использовать формулу:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{AB}| |\vec{CA}|}
]
Шаг 6: Вычисляем скалярное произведение
Сначала находим скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{CA} ):
[
\vec{AB} \cdot \vec{CA} = (4, 0) \cdot (0, -4) = 4 \cdot 0 + 0 \cdot (-4) = 0
]
Шаг 7: Находим длины векторов
Далее, находим длины векторов:
[
|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 0^2} = 4
]
[
|\vec{CA}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4
]
Шаг 8: Подставляем в формулу
Теперь подставим все полученные значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos(\theta) = \frac{0}{4 \cdot 4} = 0
]
Поскольку ( \cos(\theta) = 0 ), это означает, что:
[
\theta = 90^\circ
]
Ответ
Угол между векторами ( \vec{AB} ) и ( \vec{CA} ) равен 90 градусов.
