f(x)=(x-1)⁸(2-x)⁷
Давайте разберем функцию \( f(x) = (x-1)^8 (2-x)^7 \) и найдем ее производную, а также изучим, как она ведет себя.
Шаг 1: Нахождение производной функции
Мы можем использовать правило произведения и правило цепочки. Функция состоит из двух множителей: \( u = (x-1)^8 \) и \( v = (2-x)^7 \).
Производная функции \( f(x) = u \cdot v \) находится по формуле:
\[ f'(x) = u'v + uv' \]
Найдем \( u' \) и \( v' \):
\( u = (x-1)^8 \):
- Используем правило степени и правило цепи: \[ u' = 8(x-1)^7 \cdot 1 = 8(x-1)^7 \]
\( v = (2-x)^7 \):
- Здесь также используем правило степени и правило цепи. Не забываем, что производная от \( -(x) \) равна \( -1 \): \[ v' = 7(2-x)^6 \cdot (-1) = -7(2-x)^6 \]
Шаг 2: Подставляем \( u' \) и \( v' \) в формулу для \( f'(x) \)
Теперь можем подставить вычисленные производные обратно в формулу производной:
\[ f'(x) = u'v + uv' \]
Подставим значения:
\[ f'(x) = 8(x-1)^7 (2-x)^7 + (x-1)^8 (-7(2-x)^6) \]
Шаг 3: Упрощаем выражение
Для удобства можем вынести общий множитель:
\[ f'(x) = (x-1)^7 (2-x)^6 \left[ 8(2-x) - 7(x-1) \right] \]
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
\[ 8(2-x) - 7(x-1) = 16 - 8x - 7x + 7 = 16 - 15x + 7 = 23 - 15x \]
Шаг 4: Получаем окончательную форму производной
Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:
\[ f'(x) = (x-1)^7 (2-x)^6 (23 - 15x) \]
Шаг 5: Анализ функции
- Значения \( x = 1 \) и \( x = 2 \) делают производную равной нулю, так как оба множителя \( (x-1)^7 \) и \( (2-x)^6 \) будут равны нулю в этих точках.
- Кроме того, выражение \( (23 - 15x) = 0 \) даёт дополнительную точку \( x = \frac{23}{15} \).
Эти точки могут быть важны для исследования функции: они определяют критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы.
Заключение
Рассмотрев функцию \( f(x) = (x-1)^8 (2-x)^7 \), мы нашли ее производную и определили критические точки, которые могут помочь в дальнейшем анализе функции, например, в поиске минимумов и максимумов. Если у вас есть дополнительные вопросы про эту функцию или нужно разобрать что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
Обсуждение
2 сообщенияf(x)=(2x-1)⁵(1+x)⁴
Давайте разберем функцию \( f(x) = (2x-1)^5 (1+x)^4 \) и найдем ее производную с помощью правила произведения.
Шаг 1: Нахождение производной функции
Функция \( f(x) \) состоит из двух множителей:
- \( u = (2x-1)^5 \)
- \( v = (1+x)^4 \)
Производная функции \( f(x) = u \cdot v \) вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = u'v + uv' \]
Найдем \( u' \) и \( v' \):
Вычисляем \( u' \): \[ u = (2x-1)^5 \] Используя правило цепи: \[ u' = 5(2x-1)^4 \cdot 2 = 10(2x-1)^4 \]
Вычисляем \( v' \): \[ v = (1+x)^4 \] Аналогично: \[ v' = 4(1+x)^3 \cdot 1 = 4(1+x)^3 \]
Шаг 2: Подставляем \( u' \) и \( v' \) в формулу для \( f'(x) \)
Теперь подставим полученные производные в формулу:
\[ f'(x) = u'v + uv' \]
Подставляем значения:
\[ f'(x) = 10(2x-1)^4 (1+x)^4 + (2x-1)^5 \cdot 4(1+x)^3 \]
Шаг 3: Вынесем общий множитель
Чтобы упростить выражение, можем вынести общий множитель:
\[ f'(x) = (2x-1)^4 (1+x)^3 \left[ 10(1+x) + 4(2x-1) \right] \]
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
\[ 10(1+x) + 4(2x-1) = 10 + 10x + 8x - 4 = 10 + 18x - 4 = 6 + 18x \]
Шаг 4: Получаем окончательную форму производной
Итак, производная функции \( f(x) \) будет равна:
\[ f'(x) = (2x-1)^4 (1+x)^3 (18x + 6) \]
Шаг 5: Анализ функции
При анализе:
- Множитель \( (2x-1)^4 \) равен нулю при \( x = \frac{1}{2} \).
- Множитель \( (1+x)^3 \) равен нулю при \( x = -1 \).
- Линейный множитель \( (18x + 6) = 0 \) дает точку \( x = -\frac{1}{3} \).
Заключение
Мы нашли производную функции \( f(x) = (2x-1)^5(1+x)^4 \) и определили критические точки, которые могут помочь в дальнейшем анализе функции. Если у вас будут дополнительные вопросы или нужно подробнее разобрать какую-то часть, не стесняйтесь спрашивать!
