F(x)=(x-1)⁸(2-x)⁷

Давайте разберем функцию \( f(x) = (x-1)^8 (2-x)^7 \) и найдем ее производную, а также изучим, как она ведет себя. ### Шаг 1: Нахождение производной функции Мы можем использовать правило произведения и правило цепочки. Функция состоит из двух множителей: \( u = (x-1)^8 \) и \( v = (2-x)^7 \). Производная функции \( f(x) = u \cdot v \) находится по формуле: \[ f'(x) = u'v + uv' \] #### Найдем \( u' \) и \( v' \): 1. \( u = (x-1)^8 \): - Используем правило степени и правило цепи: \[ u' = 8(x-1)^7 \cdot 1 = 8(x-1)^7 \] 2. \( v = (2-x)^7 \): - Здесь также используем правило степени и правило цепи. Не забываем, что производная от \( -(x) \) равна \( -1 \): \[ v' = 7(2-x)^6 \cdot (-1) = -7(2-x)^6 \] ### Шаг 2: Подставляем \( u' \) и \( v' \) в формулу для \( f'(x) \) Теперь можем подставить вычисленные производные обратно в формулу производной: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Подставим значения: \[ f'(x) = 8(x-1)^7 (2-x)^7 + (x-1)^8 (-7(2-x)^6) \] ### Шаг 3: Упрощаем выражение Для удобства можем вынести общий множитель: \[ f'(x) = (x-1)^7 (2-x)^6 \left[ 8(2-x) - 7(x-1) \right] \] Теперь упростим выражение в квадратных скобках: \[ 8(2-x) - 7(x-1) = 16 - 8x - 7x + 7 = 16 - 15x + 7 = 23 - 15x \] ### Шаг 4: Получаем окончательную форму производной Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = (x-1)^7 (2-x)^6 (23 - 15x) \] ### Шаг 5: Анализ функции - Значения \( x = 1 \) и \( x = 2 \) делают производную равной нулю, так как оба множителя \( (x-1)^7 \) и \( (2-x)^6 \) будут равны нулю в этих точках. - Кроме того, выражение \( (23 - 15x) = 0 \) даёт дополнительную точку \( x = \frac{23}{15} \). Эти точки могут быть важны для исследования функции: они определяют критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы. ### Заключение Рассмотрев функцию \( f(x) = (x-1)^8 (2-x)^7 \), мы нашли ее производную и определили критические точки, которые могут помочь в дальнейшем анализе функции, например, в поиске минимумов и максимумов. Если у вас есть дополнительные вопросы про эту функцию или нужно разобрать что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!