площадь прямоугольного треугольника равна 64 см². Найдите его катеты, если один из них в 2 раза больше другого

Чтобы решить задачу, начнём с формулы для площади прямоугольного треугольника. Площадь \( S \) прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов \( a \) и \( b \) как:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

В этой задаче нам известно, что площадь равна 64 см²:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 64 \]

Упростим это уравнение, умножив обе стороны на 2:

\[ a \cdot b = 128 \]

Необходимо также учитывать условие, что один катет в 2 раза больше другого. Предположим, что меньший катет \( a \), а больший катет \( b \) тогда можно выразить как:

\[ b = 2a \]

Теперь подставим \( b \) во второе уравнение:

\[ a \cdot (2a) = 128 \]

Упрощаем выражение:

\[ 2a^2 = 128 \]

Теперь разделим обе стороны на 2:

\[ a^2 = 64 \]

Найдём \( a \) путем извлечения квадратного корня:

\[ a = \sqrt{64} = 8 \]

Теперь найдём \( b \) используя выражение \( b = 2a \):

\[ b = 2 \cdot 8 = 16 \]

Таким образом, катеты треугольника составляют:

• Меньший катет \( a = 8 \) см
• Больший катет \( b = 16 \) см

Для проверки можем подставить найденные значения обратно в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = \frac{128}{2} = 64 \, \text{см}^2 \]

Итак, найденные катеты удовлетворяют всем условиям.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 16 см.