Чтобы решить задачу, начнём с формулы для площади прямоугольного треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов ( a ) и ( b ) как:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
В этой задаче нам известно, что площадь равна 64 см²:
[
\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 64
]
Упростим это уравнение, умножив обе стороны на 2:
[
a \cdot b = 128
]
Необходимо также учитывать условие, что один катет в 2 раза больше другого. Предположим, что меньший катет ( a ), а больший катет ( b ) тогда можно выразить как:
[
b = 2a
]
Теперь подставим ( b ) во второе уравнение:
[
a \cdot (2a) = 128
]
Упрощаем выражение:
[
2a^2 = 128
]
Теперь разделим обе стороны на 2:
[
a^2 = 64
]
Найдём ( a ) путем извлечения квадратного корня:
[
a = \sqrt{64} = 8
]
Теперь найдём ( b ) используя выражение ( b = 2a ):
[
b = 2 \cdot 8 = 16
]
Таким образом, катеты треугольника составляют:
- Меньший катет ( a = 8 ) см
- Больший катет ( b = 16 ) см
Для проверки можем подставить найденные значения обратно в формулу для площади:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 16 = \frac{128}{2} = 64 , \text{см}^2
]
Итак, найденные катеты удовлетворяют всем условиям.
Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 16 см.
