Какова вероятность события «мишень будет поражена ровно 3 раза», если стрелок 7 раз стреляет по мишени с вероятностью попадания 0,2 при каждом отдельном выстреле?
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. В случае "мишень будет поражена ровно 3 раза" нам нужно выяснить, какова вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза из 7 выстрелов, при этом вероятность попадания в каждом выстреле составляет 0,2.
### Шаги решения:
1. **Определяем параметры задачи:**
- Количество выстрелов (n): 7
- Количество попаданий (k): 3
- Вероятность попадания в каждом выстреле (p): 0,2
- Вероятность промаха (q): 1 - p = 0,8
2. **Формула биномиального распределения:**
Вероятность того, что событие произойдет k раз из n попыток, можно найти по следующей формуле:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
3. **Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(7, 3) \):**
\[
C(7, 3) = \frac{7!}{3! \cdot (7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35
\]
4. **Подставляем значения в формулу:**
\[
P(X = 3) = C(7, 3) \cdot (0,2)^3 \cdot (0,8)^{7-3}
\]
\[
P(X = 3) = 35 \cdot (0,2)^3 \cdot (0,8)^4
\]
5. **Вычисляем \( (0,2)^3 \) и \( (0,8)^4 \):**
\[
(0,2)^3 = 0,008
\]
\[
(0,8)^4 = 0,4096
\]
6. **Теперь можем подставить это значение:**
\[
P(X = 3) = 35 \cdot 0,008 \cdot 0,4096
\]
\[
P(X = 3) = 35 \cdot 0,0032768 = 0,114168
\]
7. **Окончательный ответ:**
Вероятность того, что мишень будет поражена ровно 3 раза, составляет примерно **0,1142** (или 11,42%).
Таким образом, мы рассчитали вероятность попадания в мишень ровно 3 раза из 7 выстрелов с вероятностью попедения 0,2. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
