В тираже лотереи "5 из 36" пять случайных номеров из тридцати шести объявляются выигрышными. Перед тиражом участник в своём лотерейном билете помечает 5 из 36 номеров. Чему равна…
В тираже лотереи "5 из 36" пять случайных номеров из тридцати шести объявляются выигрышными. Перед тиражом участник в своём лотерейном билете помечает 5 из 36 номеров. Чему равна вероятность того, что участник угадает 3 из 5 выигрышных номеров? Ответ запишите в виде конечной десятичной дроби, округлив результат до тысячных.
Для решения задачи о вероятности угадать 3 из 5 выигрышных номеров в лотерее "5 из 36", воспользуемся комбинаторикой.
Шаг 1: Определим общее количество возможных исходов
Общее количество способов выбрать 5 номеров из 36 определяется с помощью биномиальных коэффициентов, что обозначается как \( C(n, k) \) или \( \binom{n}{k} \), где \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 36), а \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 5):
\[ C(36, 5) = \frac{36!}{5!(36-5)!} = \frac{36!}{5! \cdot 31!} \]
Шаг 2: Вычислим \( C(36, 5) \)
Рассчитаем:
\[ C(36, 5) = \frac{36 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{45,238,560}{120} = 376,988 \]
Шаг 3: Найдем количество благоприятных исходов
Теперь определим количество способов, которыми участник может угадать ровно 3 выигрышных номера:
- Участник выбирает 3 номера из 5 выигрышных: \( C(5, 3) \)
- Участник выбирает 2 номера из 31 проигрышного (то есть из 36 номеров остаются 31 невыигрышный): \( C(31, 2) \)
Теперь рассмотрим, как это можно вычислить:
\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
\[ C(31, 2) = \frac{31!}{2!(31-2)!} = \frac{31 \times 30}{2 \times 1} = 465 \]
Шаг 4: Определим общее количество благоприятных случаев
Общее количество благоприятных исходов равно произведению способов выбрать 3 выигрышных номера и 2 проигрышных номера:
\[ \text{Благоприятные исходы} = C(5, 3) \cdot C(31, 2) = 10 \cdot 465 = 4650 \]
Шаг 5: Рассчитаем вероятность
Вероятность (\( P \)) того, что участник угадает ровно 3 из 5 выигрышных номеров, рассчитывается по формуле:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{всех возможных исходов}} = \frac{4650}{376,740} \]
Шаг 6: Упрощение
Теперь проведем вычисления:
\[ P = \frac{4650}{376988} \approx 0.0123 \]
Шаг 7: Округление до тысячных
Округляем результат до тысячных:
\[ P \approx 0.012 \]
Ответ:
Вероятность того, что участник угадает 3 из 5 выигрышных номеров, равна приблизительно 0.012.
