Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой для расчета сопротивления проводника:
[ R = \frac{\rho \cdot l}{S}, ]
где:
- ( R ) — сопротивление,
- ( \rho ) — удельное сопротивление материала,
- ( l ) — длина проводника,
- ( S ) — площадь поперечного сечения.
Обозначим параметры стальной проволоки:
- ( \rho_{\text{сталь}} ) — удельное сопротивление стали (примерно ( 0.1 , \Omega \cdot \text{мм}^2/\text{м} )),
- ( S_{\text{сталь}} ) — площадь поперечного сечения стальной проволоки,
- ( l_{\text{сталь}} = l ) — длина стальной проволоки.
Для алюминиевой проволоки:
- ( \rho_{\text{алюминий}} ) — удельное сопротивление алюминия (примерно ( 0.028 , \Omega \cdot \text{мм}^2/\text{м} )),
- ( S_{\text{алюминий}} = 0.75 , \text{мм}^2 ) — площадь поперечного сечения алюминиевой проволоки,
- ( l_{\text{алюминий}} = 2l ) — длина алюминиевой проволоки.
Сопротивление алюминиевой проволоки можно выразить как:
[ R_{\text{алюминий}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}} \cdot 2l}{S_{\text{алюминий}}}. ]
Сопротивление стальной проволоки:
[ R_{\text{сталь}} = \frac{\rho_{\text{сталь}} \cdot l}{S_{\text{сталь}}}. ]
Чтобы сопротивление проволок было равным, пишем:
[ R_{\text{сталь}} = R_{\text{алюминий}}. ]
Подставим известные значения:
[
\frac{\rho_{\text{сталь}} \cdot l}{S_{\text{сталь}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}} \cdot 2l}{S_{\text{алюминий}}}.
]
Сократим ( l ) (оно не равно нулю):
[
\frac{\rho_{\text{сталь}}}{S_{\text{сталь}}} = \frac{\rho_{\text{алюминий}} \cdot 2}{S_{\text{алюминий}}}.
]
Подставим известные значения удельных сопротивлений:
[
\frac{0.1}{S_{\text{сталь}}} = \frac{0.028 \cdot 2}{0.75}.
]
Теперь найдем правую часть:
[
\frac{0.056}{0.75} = 0.0746667.
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
\frac{0.1}{S_{\text{сталь}}} = 0.0746667.
]
Решим его относительно ( S_{\text{сталь}} ):
[
S_{\text{сталь}} = \frac{0.1}{0.0746667} \approx 1.337 , \text{мм}^2.
]
Таким образом, площадь поперечного сечения стальной проволоки должна составлять примерно ( 1.337 , \text{мм}^2 ).
