Найти производную y=x/(x+2) ^1/2

Чтобы найти производную функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x+2}} \), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило частного и правило цепочки. ### Шаг 1: Запишем функцию в более удобной форме Сначала можно переписать функцию следующим образом: \[ y = x (x+2)^{-1/2} \] ### Шаг 2: Используем правило произведения Формула для нахождения производной произведения двух функций \( u \) и \( v \) такова: \[ (y \cdot v)' = y' \cdot v + y \cdot v' \] В нашем случае: - \( u = x \) (первая функция) - \( v = (x+2)^{-1/2} \) (вторая функция) #### Находим производные \( u' \) и \( v' \): 1. **Для \( u = x \)**: \[ u' = 1 \] 2. **Для \( v = (x+2)^{-1/2} \)**: Используем правило цепочки. \[ v' = -\frac{1}{2} (x+2)^{-3/2} \cdot (1) = -\frac{1}{2(x+2)^{3/2}} \] ### Шаг 3: Подставляем производные в формулу Теперь используем правило произведения, подставив наши функции и их производные: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Подставим все найденные значения: \[ y' = (1) \cdot (x + 2)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2(x + 2)^{3/2}}\right) \] ### Шаг 4: Упростим выражение Теперь упрощаем: \[ y' = (x + 2)^{-1/2} - \frac{x}{2(x + 2)^{3/2}} \] Чтобы привести к общему знаменателю, заметим, что \( (x+2)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x+2}} \) и домножим на \( \frac{2\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}} \): \[ y' = \frac{2\sqrt{x+2}}{2(x + 2)} - \frac{x}{2(x + 2)^{3/2}} \] Теперь объединяем в один дробь: \[ y' = \frac{2\sqrt{x+2}(x + 2) - x}{2(x + 2)^{3/2}} \] ### Шаг 5: Упрощаем числитель Упростим числитель: \[ 2\sqrt{x+2} \cdot (x + 2) - x = 2(x + 2)^{3/2} - x \] Таким образом, производная функции \( y \) равна: \[ y' = \frac{2(x + 2)^{3/2} - x}{2(x + 2)^{3/2}} \] Это окончательный вид производной. ### Ответ \[ y' = \frac{2(x + 2)^{3/2} - x}{2(x + 2)^{3/2}} \] Теперь вы знаете, как найти производную данной функции! Если у вас есть вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать.