найти производную y=x/(x+2) ^1/2
Чтобы найти производную функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x+2}} \), мы будем использовать правила дифференцирования, такие как правило частного и правило цепочки.
Шаг 1: Запишем функцию в более удобной форме
Сначала можно переписать функцию следующим образом:
\[ y = x (x+2)^{-1/2} \]
Шаг 2: Используем правило произведения
Формула для нахождения производной произведения двух функций \( u \) и \( v \) такова:
\[ (y \cdot v)' = y' \cdot v + y \cdot v' \]
В нашем случае:
- \( u = x \) (первая функция)
- \( v = (x+2)^{-1/2} \) (вторая функция)
Находим производные \( u' \) и \( v' \):
- Для \( u = x \):
\[ u' = 1 \]
Для \( v = (x+2)^{-1/2} \):
Используем правило цепочки.
\[ v' = -\frac{1}{2} (x+2)^{-3/2} \cdot (1) = -\frac{1}{2(x+2)^{3/2}} \]
Шаг 3: Подставляем производные в формулу
Теперь используем правило произведения, подставив наши функции и их производные:
\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \]
Подставим все найденные значения:
\[ y' = (1) \cdot (x + 2)^{-1/2} + x \cdot \left(-\frac{1}{2(x + 2)^{3/2}}\right) \]
Шаг 4: Упростим выражение
Теперь упрощаем:
\[ y' = (x + 2)^{-1/2} - \frac{x}{2(x + 2)^{3/2}} \]
Чтобы привести к общему знаменателю, заметим, что \( (x+2)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x+2}} \) и домножим на \( \frac{2\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}} \):
\[ y' = \frac{2\sqrt{x+2}}{2(x + 2)} - \frac{x}{2(x + 2)^{3/2}} \]
Теперь объединяем в один дробь:
\[ y' = \frac{2\sqrt{x+2}(x + 2) - x}{2(x + 2)^{3/2}} \]
Шаг 5: Упрощаем числитель
Упростим числитель:
\[ 2\sqrt{x+2} \cdot (x + 2) - x = 2(x + 2)^{3/2} - x \]
Таким образом, производная функции \( y \) равна:
\[ y' = \frac{2(x + 2)^{3/2} - x}{2(x + 2)^{3/2}} \]
Это окончательный вид производной.
Ответ
\[ y' = \frac{2(x + 2)^{3/2} - x}{2(x + 2)^{3/2}} \]
Теперь вы знаете, как найти производную данной функции! Если у вас есть вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать.
