Решите задачу с помощью уравнения: «В прямоугольнике одна сторона на 8 см меньше другой, а его площадь равна 84 см^2. Найдите стороны прямоугольника
Давайте решим задачу по этапам.
Условие задачи: В прямоугольнике одна сторона на 8 см меньше другой, а его площадь равна 84 см². Нужно найти длины сторон прямоугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны
Пусть одна сторона прямоугольника будет \( x \) см. По условию задачи, другая сторона на 8 см больше: тогда она будет равна \( x - 8 \) см.
Шаг 2: Написание уравнения для площади
Площадь прямоугольника \( S \) вычисляется как произведение его сторон: \[ S = \text{длина} \times \text{ширина} \] По данному условию, площадь равна 84 см², следовательно: \[ x \cdot (x - 8) = 84 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду
Раскроем скобки: \[ x^2 - 8x = 84 \] Переносим 84 влево: \[ x^2 - 8x - 84 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где:
- \( a = 1 \)
- \( b = -8 \)
- \( c = -84 \)
Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставляем известные значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400 \]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 20}{2} \]
Шаг 5: Нахождение корней
- \( x_1 = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14 \)
- \( x_2 = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Шаг 6: Нахождение сторон
Наше значение \( x = 14 \) см, значит:
- Одна сторона равна \( 14 \) см.
- Другая сторона будет \( x - 8 = 14 - 8 = 6 \) см.
Ответ
Длины сторон прямоугольника: 14 см и 6 см.
Проверка
Проверим площадь: \[ P = 14 \cdot 6 = 84 \text{ см}^2 \] Задача решена корректно.
