Давайте решим задачу по этапам.
Условие задачи:
В прямоугольнике одна сторона на 8 см меньше другой, а его площадь равна 84 см². Нужно найти длины сторон прямоугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны
Пусть одна сторона прямоугольника будет ( x ) см.
По условию задачи, другая сторона на 8 см больше: тогда она будет равна ( x - 8 ) см.
Шаг 2: Написание уравнения для площади
Площадь прямоугольника ( S ) вычисляется как произведение его сторон:
[
S = \text{длина} \times \text{ширина}
]
По данному условию, площадь равна 84 см², следовательно:
[
x \cdot (x - 8) = 84
]
Шаг 3: Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду
Раскроем скобки:
[
x^2 - 8x = 84
]
Переносим 84 влево:
[
x^2 - 8x - 84 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ( ax^2 + bx + c = 0 ), где:
- ( a = 1 )
- ( b = -8 )
- ( c = -84 )
Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставляем известные значения:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400
]
Теперь найдем корни уравнения, используя формулу корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 20}{2}
]
Шаг 5: Нахождение корней
- ( x_1 = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14 )
- ( x_2 = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6 ) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)
Шаг 6: Нахождение сторон
Наше значение ( x = 14 ) см, значит:
- Одна сторона равна ( 14 ) см.
- Другая сторона будет ( x - 8 = 14 - 8 = 6 ) см.
Ответ
Длины сторон прямоугольника: 14 см и 6 см.
Проверка
Проверим площадь:
[
P = 14 \cdot 6 = 84 \text{ см}^2
]
Задача решена корректно.
