Чтобы решить задачу, начнем с обозначения сторон прямоугольника. Обозначим одну сторону прямоугольника как ( x ) (это будет более длинная сторона). Тогда другая сторона, согласно условию задачи, будет равна ( x - 8 ) см (это сторона, которая на 8 см меньше).
Теперь мы знаем, что площадь прямоугольника (площадь ( S )) вычисляется по формуле:
[
S = \text{длина} \times \text{ширина}
]
В нашей задаче площадь равна 84 см², и мы можем записать уравнение:
[
x \times (x - 8) = 84
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 - 8x = 84
]
Чтобы решить это уравнение, перенесем 84 на левую сторону:
[
x^2 - 8x - 84 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение стандартного вида ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = -84 ).
Для его решения можем воспользоваться формулой дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
Подставим наши значения:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 64 + 336 = 400
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения в формулу:
[
x = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 20}{2}
]
Теперь найдем два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{8 + 20}{2} = \frac{28}{2} = 14 )
- ( x_2 = \frac{8 - 20}{2} = \frac{-12}{2} = -6 )
Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, наше допустимое значение только одно:
[
x = 14
]
Теперь найдем вторую сторону:
[
x - 8 = 14 - 8 = 6
]
Итак, стороны прямоугольника составляют 14 см и 6 см.
Ответ:
Стороны прямоугольника: 14 см и 6 см.
