У Льва Петровича есть собрание из 18 томов «Истории искусств». Он расставляет свою коллекцию на 6-ти полках, начиная с первой, таким образом, чтобы на каждой стояло одинаковое количество книг. Сколькими способами Лев Петрович может расставить книги на первой полке?

Решим задачу поэтапно. 1. **Понимание задачи**: У нас есть 18 томов книг, которые нужно распределить на 6 полок так, чтобы на каждой полке стояло одинаковое количество книг. Нам нужно узнать, сколькими способами Лев Петрович может расставить книги на первой полке. 2. **Определение количества книг на полках**: Поскольку количество книг должно быть одинаковым на всех полках, надо определить, сколько книг будет на одной полке. Разделим общее количество книг на количество полок: \[ \frac{18 \text{ томов}}{6 \text{ полок}} = 3 \text{ тома на полку} \] Это значит, что на каждой из 6 полок будет стоять по 3 тома книг. 3. **Определение количества способов расстановки книг на первой полке**: На первой полке можно выбрать любые 3 из 18 книг. Используем для этого формулу сочетаний, которая позволяет нам определить, сколько способов можно выбрать элементы из множества: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество предметов (в нашем случае 18), \( k \) — количество предметов, которые мы выбираем (в нашем случае 3). Подставим наши значения: \[ C(18, 3) = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3! \cdot 15!} \] 4. **Упрощение выражения**: Выразим \( 18! \): \[ 18! = 18 \times 17 \times 16 \times 15! \] Подставляем это в формулу: \[ C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15!}{3! \times 15!} \] Обратите внимание, что \( 15! \) сокращается: \[ C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16}{3!} \] Теперь вычислим \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \): \[ C(18, 3) = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} \] 5. **Вычисления**: Умножим числитель: \[ 18 \times 17 = 306 \] Затем: \[ 306 \times 16 = 4896 \] Теперь поделим на 6: \[ \frac{4896}{6} = 816 \] Таким образом, Лев Петрович может расставить книги на первой полке 816 способами. **Ответ:** 816 способов.