найдите значение функции в точках максимума
Чтобы найти значение функции \( f(x) = x^3 - 12x + 4 \) в точках максимума, нужно сначала определить эти точки.
Шаг 1: Найти производную функции
Вычислим первую производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = 3x^2 - 12 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю: \[ 3x^2 - 12 = 0 \]
Решим это уравнение: \[ 3x^2 = 12 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \]
Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
Шаг 3: Определить характер критических точек
Для этого найдем вторую производную: \[ f''(x) = 6x \]
Проверим знак второй производной в критических точках:
Для \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6 \times 2 = 12 > 0 \] Точка \( x = 2 \) — точка минимума.
Для \( x = -2 \): \[ f''(-2) = 6 \times (-2) = -12 < 0 \] Точка \( x = -2 \) — точка максимума.
Шаг 4: Найти значение функции в точке максимума
Найдем значение функции в точке \( x = -2 \): \[ f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 4 \] \[ = -8 + 24 + 4 \] \[ = 20 \]
Ответ
Значение функции в точке максимума \( x = -2 \): \( \boxed{20} \)
