1. Моторная лодка прошла против течения реки 234 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки…

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом.

Дано:

• Расстояние против течения: \( S = 234 \) км
• Скорость течения реки: \( V_t = 4 \) км/ч
• Время на обратный путь меньше на 4 часа.

Обозначим:

• Скорость лодки в неподвижной воде: \( V_b \) км/ч
• Время, затраченное на путь против течения: \( T_1 \) часов
• Время, затраченное на обратный путь: \( T_2 \) часов

Формулы:

Скорость лодки против течения: \[ V_1 = V_b - V_t = V_b - 4 \text{ км/ч} \]

Скорость лодки по течению: \[ V_2 = V_b + V_t = V_b + 4 \text{ км/ч} \]

Теперь можем записать уравнения для времени.

Время на путь против течения:

\[ T_1 = \frac{S}{V_1} = \frac{234}{V_b - 4} \]

Время на обратный путь:

\[ T_2 = \frac{S}{V_2} = \frac{234}{V_b + 4} \]

Условие задачи:

Согласно условию, время на обратный путь меньше на 4 часа: \[ T_1 - T_2 = 4 \]

Подставим уравнения:

\[ \frac{234}{V_b - 4} - \frac{234}{V_b + 4} = 4 \]

Умножим обе стороны на \( (V_b - 4)(V_b + 4) \) для устранения дробей:

\[ 234(V_b + 4) - 234(V_b - 4) = 4(V_b - 4)(V_b + 4) \]

Упростим: \[ 234V_b + 936 - 234V_b + 936 = 4(V_b^2 - 16) \] \[ 1872 = 4V_b^2 - 64 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 4V_b^2 - 64 - 1872 = 0 \] \[ 4V_b^2 - 1936 = 0 \]

Делим на 4:

\[ V_b^2 = 484 \]

Извлекаем корень:

\[ V_b = \sqrt{484} = 22 \]

Ответ:

Скорость лодки в неподвижной воде составляет \( V_b = 22 \) км/ч.