найдите двузначное число, если цифра десятков на 2 больше цифры единиц,а произведение числа на сумму его цифр равна 640
Для решения задачи начнем с обозначения цифр двузначного числа.
Обозначим:
- \( x \) — цифра единиц,
- \( y \) — цифра десятков.
Согласно условиям задачи, у нас есть следующие утверждения:
Цифра десятков на 2 больше цифры единиц: \[ y = x + 2 \]
Произведение числа на сумму его цифр равно 640: Сумма цифр: \[ S = x + y \] Двузначное число может быть записано как \( 10y + x \). Таким образом, условие о произведении можно записать как: \[ (10y + x)(x + y) = 640 \]
Теперь подставим \( y \) из первого уравнения во второе.
Подставим \( y = x + 2 \) в сумму: \[ S = x + (x + 2) = 2x + 2 \]
Теперь подставим \( y \) в выражение для двузначного числа: \[ 10y + x = 10(x + 2) + x = 10x + 20 + x = 11x + 20 \]
Теперь у нас есть уравнение: \[ (11x + 20)(2x + 2) = 640 \]
Раскроем скобки: \[ (11x + 20)(2x + 2) = 22x^2 + 22x + 40x + 40 = 22x^2 + 62x + 40 \]
Приравняем к 640: \[ 22x^2 + 62x + 40 = 640 \] \[ 22x^2 + 62x + 40 - 640 = 0 \] \[ 22x^2 + 62x - 600 = 0 \]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2: \[ 11x^2 + 31x - 300 = 0 \]
Данное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-300) \] \[ D = 961 + 13200 = 14161 \]
Теперь найдем корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm \sqrt{14161}}{2 \cdot 11} \]
Вычислим \(\sqrt{14161}\) — это 119: \[ x = \frac{-31 \pm 119}{22} \]
Теперь определим два возможных значения:
1. \[ x_1 = \frac{88}{22} = 4 \] 2. \[ x_2 = \frac{-150}{22} \text{ (отрицательное значение, не рассматриваем)} \]
Теперь, подставим \( x = 4 \) в уравнение для \( y \): \[ y = 4 + 2 = 6 \]
Таким образом, цифры двузначного числа:
- Цифра десятков: \( y = 6 \)
- Цифра единиц: \( x = 4 \)
Двузначное число: \[ 64 \]
Проверим условия:
- Цифра десятков (6) действительно на 2 больше цифры единиц (4).
- Сумма цифр: \( 6 + 4 = 10 \).
- Произведение: \( 64 \times 10 = 640 \) (условие выполняется).
Следовательно, искомое двузначное число — 64.
