Для решения задачи о равностороннем треугольнике, когда медиана равна 5 см, давайте пошагово найдем длину стороны треугольника и его площадь.
Шаг 1: Используем свойство медианы равностороннего треугольника
В равностороннем треугольнике медиана делит его на два равных прямоугольных треугольника. Также известно, что длина медианы ( m ) равностороннего треугольника со стороной ( a ) вычисляется по формуле:
[
m = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Шаг 2: Подставляем известные значения в формулу
В нашем случае медиана равна 5 см, следовательно:
[
5 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
Шаг 3: Решаем уравнение относительно ( a )
Для нахождения стороны ( a ) умножим обе стороны уравнения на 2 и разделим на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{10}{\sqrt{3}}
]
Для удобства, умножим числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см}
]
Шаг 4: Находим площадь треугольника
Площадь ( S ) равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Теперь подставим найденное значение ( a ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{10\sqrt{3}}{3} \right)^2
]
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{100 \cdot 3}{9}
]
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{300}{9}
]
[
S = \frac{75\sqrt{3}}{9}
]
[
S = \frac{25\sqrt{3}}{3} \text{ см}^2
]
Ответ
Таким образом, мы нашли:
- Длина стороны треугольника: ( a = \frac{10\sqrt{3}}{3} ) см.
- Площадь треугольника: ( S = \frac{25\sqrt{3}}{3} ) см².
Если возникли дополнительные вопросы или нужно больше объяснений по какому-либо из шагов, не стесняйтесь спрашивать!
