Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, как устроен прямоугольный треугольник и какие свойства у него есть.
Дано:
- Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусов.
- Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 8,1 см.
Обозначим элементы треугольника:
- Обозначим гипотенузу как ( c ).
- Обозначим меньший катет как ( a ).
- Третий угол в треугольнике — это угол в 30 градусов (так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а один угол равен 90 градусов).
- Соответственно, больший катет обозначим как ( b ).
Связь между катетами и гипотенузой:
В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения катетов. Так как мы знаем угол в 60 градусов:
Сумма гипотенузы и меньшего катета:
По условию из задачи:
[
c + a = 8,1
]
Подставляя значение ( a ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8,1
]
В простом виде:
Скобки можно убрать:
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8,1
]
Нахождение гипотенузы:
Теперь выразим ( c ):
[
c = \frac{8,1}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}
]
Чтобы упростить это выражение, найдем общий знаменатель:
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Теперь подставим это обратно в уравнение:
[
c = \frac{8,1}{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} = 8,1 \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{3}}
]
Теперь давайте посчитаем это значение:
[
c = \frac{16,2}{2 + \sqrt{3}}
]
Примерная оценка:
Чтобы получить численное значение, можем приблизительно подставить значение (\sqrt{3} \approx 1,732):
[
2 + \sqrt{3} \approx 3,732
]
[
c \approx \frac{16,2}{3,732} \approx 4,34 \text{ см}
]
Ответ:
Гипотенуза равна примерно 4,34 см.
