На контрольной по математике ученику дается 7 одинаковых по трудности заданий. Вероятность решения каждой задачи учеником равна 0,58. Какова вероятность того, что ученик решит не…

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (7 заданий), два исхода (задачу решено или не решено) и постоянная вероятность успеха (решить задачу равна 0,58).

Обозначим:

• \( n = 7 \) — количество заданий
• \( p = 0,58 \) — вероятность успешного решения задания
• \( k \) — количество успешно решённых задач

Нам нужно найти вероятность того, что ученик решит не менее 5 задач, то есть \( P(k \geq 5) \). Это можно выразить как:

\[ P(k \geq 5) = P(k = 5) + P(k = 6) + P(k = 7) \]

Вероятность того, что ученик решит ровно \( k \) задач можно найти по формуле биномиального распределения:

\[ P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)} \]

где \(\binom{n}{k}\) — это биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь будем находить вероятности для \( k = 5 \), \( k = 6 \) и \( k = 7 \).

1. Расчет для \( k = 5 \)

\[ P(5) = \binom{7}{5} (0,58)^5 (0,42)^{2} \]

Биномиальный коэффициент:

\[ \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(5) = 21 \times (0,58)^5 \times (0,42)^2 \]

Сначала вычислим степени:

\[ (0,58)^5 \approx 0,061569 (округлено до 6 знаков) \] \[ (0,42)^2 = 0,1764 \]

Теперь подставим и умножим:

\[ P(5) \approx 21 \times 0,061569 \times 0,1764 \approx 21 \times 0,010858 = 0,228 \]

2. Расчет для \( k = 6 \)

\[ P(6) = \binom{7}{6} (0,58)^6 (0,42)^{1} \]

Биномиальный коэффициент:

\[ \binom{7}{6} = 7 \]

Теперь:

\[ P(6) = 7 \times (0,58)^6 \times (0,42) \]

Вычислим степень:

\[ (0,58)^6 \approx 0,035703 \]

Теперь подставим и умножим:

\[ P(6) \approx 7 \times 0,035703 \times 0,42 \approx 7 \times 0,01497526 = 0,10483 \]

3. Расчет для \( k = 7 \)

\[ P(7) = \binom{7}{7} (0,58)^7 (0,42)^{0} \]

Биномиальный коэффициент:

\[ \binom{7}{7} = 1 \]

Теперь:

\[ P(7) = 1 \times (0,58)^7 \times 1 \]

Вычислим степень:

\[ (0,58)^7 \approx 0,020701 \]

Теперь подставим:

\[ P(7) \approx 0,020701 \]

4. Суммируем вероятности

Теперь сложим все вероятности:

\[ P(k \geq 5) = P(5) + P(6) + P(7) \approx 0,228 + 0,10483 + 0,020701 \] \[ P(k \geq 5) \approx 0,353531 \approx 0,354 (округлено до 0,001) \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что ученик решит не менее 5 задач, составляет примерно 0,354.