Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (7 заданий), два исхода (задачу решено или не решено) и постоянная вероятность успеха (решить задачу равна 0,58).
Обозначим:
- ( n = 7 ) — количество заданий
- ( p = 0,58 ) — вероятность успешного решения задания
- ( k ) — количество успешно решённых задач
Нам нужно найти вероятность того, что ученик решит не менее 5 задач, то есть ( P(k \geq 5) ). Это можно выразить как:
[
P(k \geq 5) = P(k = 5) + P(k = 6) + P(k = 7)
]
Вероятность того, что ученик решит ровно ( k ) задач можно найти по формуле биномиального распределения:
[
P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{(n-k)}
]
где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
Теперь будем находить вероятности для ( k = 5 ), ( k = 6 ) и ( k = 7 ).
1. Расчет для ( k = 5 )
[
P(5) = \binom{7}{5} (0,58)^5 (0,42)^{2}
]
Биномиальный коэффициент:
[
\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!2!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
]
Теперь подставим значения:
[
P(5) = 21 \times (0,58)^5 \times (0,42)^2
]
Сначала вычислим степени:
[
(0,58)^5 \approx 0,061569 (округлено до 6 знаков)
]
[
(0,42)^2 = 0,1764
]
Теперь подставим и умножим:
[
P(5) \approx 21 \times 0,061569 \times 0,1764 \approx 21 \times 0,010858 = 0,228
]
2. Расчет для ( k = 6 )
[
P(6) = \binom{7}{6} (0,58)^6 (0,42)^{1}
]
Биномиальный коэффициент:
[
\binom{7}{6} = 7
]
Теперь:
[
P(6) = 7 \times (0,58)^6 \times (0,42)
]
Вычислим степень:
[
(0,58)^6 \approx 0,035703
]
Теперь подставим и умножим:
[
P(6) \approx 7 \times 0,035703 \times 0,42 \approx 7 \times 0,01497526 = 0,10483
]
3. Расчет для ( k = 7 )
[
P(7) = \binom{7}{7} (0,58)^7 (0,42)^{0}
]
Биномиальный коэффициент:
[
\binom{7}{7} = 1
]
Теперь:
[
P(7) = 1 \times (0,58)^7 \times 1
]
Вычислим степень:
[
(0,58)^7 \approx 0,020701
]
Теперь подставим:
[
P(7) \approx 0,020701
]
4. Суммируем вероятности
Теперь сложим все вероятности:
[
P(k \geq 5) = P(5) + P(6) + P(7) \approx 0,228 + 0,10483 + 0,020701
]
[
P(k \geq 5) \approx 0,353531 \approx 0,354 (округлено до 0,001)
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что ученик решит не менее 5 задач, составляет примерно 0,354.
