1 1 вариант 10 34 16 22 24 20 2 вариант 3 вариант 4 Стили 4 вариант № 1. Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной а) графиком функции у и осью…
1 1 вариант 10 34 16 22 24 20 2 вариант 3 вариант 4 Стили 4 вариант № 1. Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной а) графиком функции у и осью абсцисс y = 4x - x ^ 2 6) графиком функции у, осью ординат и прямой у y = 4x - x ^ 2 y = 4 y = 6x - x ^ 2 y = 9 y = 8x - x ^ 2 y = 2x - x ^ 2 y = 1 y = 8x - x ^ 2 y = 16 в) графиком функции у, осью абсцисс и прямыми х, их y = cos x y=sinx, H y = - sin x y = - cos x + №2. Вслите a) integrate x ^ 2 dx from 2 to 3 a) int 1 x ^ 3 dx 1 a) integrate 2x ^ 2 dx from 1 to 4 a) integrate x ^ 2 dx from a to b 0 6) integrate (3x ^ 2 - 2x) dx from 2 to 3 6) integrate (3x ^ 2 + 4x) dx 6) integrate (x ^ 3 + 2x) dx from 1 to 1 1 B) integrate (x ^ 2 + 4x - 1) dx from - 1 to 0 B) int^ 1 ^ 1 (x ^ 2 - 2x + 1) dx i Β) integrate (3x ^ 2 - 4x + 2) dx from - 1 to 4 n Β) [(x ^ 2 + 2x - 1) * a ^ 2 * x] 1) sin xáx 1) cos xá F) cos xdx )sin xx а правописания с ИИ F4 F9 F5 acer VT P6 & ? 7 * 8 ( 9 ) 0. P 2 1 D End Jb y = 2x - x ^ 2 y - 6x - x ^ 2 x_{1} = pi/4 x_{2} = pi/3 x_{1} = pi/6 x_{3} = pi/4 x_{2} = pi/3 x_{2} = pi/3 x_{1} = pi/6 integrate (3x ^ 2 - 2x) dx from a to b 4/7 2/3 - 3/2 x_{2} = pi/3 1/3
Давайте разберем задания по порядку и подробно объясним каждое из них.
Задание №1: Найдите площадь фигур
a) Найдите площадь, ограниченную графиком функции \( y = 4x - x^2 \) и осью абсцисс.
Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю: \[ 4x - x^2 = 0 \] Это уравнение можно переписать как: \[ x(4 - x) = 0 \] Таким образом, у нас есть два корня: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 4 \]
Нарисуем график функции. Это квадратная функция, которая открыта вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках \( (0, 0) \) и \( (4, 0) \), а максимальное значение достигает в точке \( x = 2 \), где: \[ y(2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8 \]
Найдём площадь фигуры под графиком функции и выше оси абсцисс, используя определённый интеграл: \[ S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx \]
Вычисляем интеграл: \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2(4^2) - \frac{4^3}{3} \right] - \left[ 0 \right] \] \[ = \left[ 32 - \frac{64}{3} \right] = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3} \] Площадь равна \( \frac{32}{3} \).
б) Теперь найдем площадь, ограниченную графиком функции \( y = 4x - x^2 \), осью ординат и прямой \( y = 4 \).
Найдем точки пересечения функции с прямой: \[ 4x - x^2 = 4 \] Переписываем в стандартном виде: \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] Это квадратное уравнение имеет корень: \[ (x - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]
Нарисуем график. В точке \( x = 2 \) функции пересекают прямую, также у нас есть начало координат \( (0, 0) \).
Вычисляем площадь: \[ S = \int_{0}^{2} (4 - (4x - x^2)) \, dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx \] Определяем интеграл: \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} \] Вычисляем: \[ = \left[ \frac{8}{3} - 8 + 8 \right] - 0 = \frac{8}{3} \]
в) Найдите площадь, ограниченную графиками \( y = \cos x \), \( y = \sin x \), \( y = -\sin x \), и \( y = -\cos x \).
Найдем точки пересечения функций. \[ \cos x = \sin x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Проверим на интервале \( [0, 2\pi] \):
- Пересечение: \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{5\pi}{4} \).
Для \( y = -\sin x \) и \( y = -\cos x \): \[ -\cos x = -\sin x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} \]
Вычислим площадь, используя интеграл: \[ S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos x - (-\sin x)) \, dx \] \[ = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos x + \sin x) \, dx \]
Вычисляем интеграл: \[ = [\sin x - \cos x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = \left[\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right] - \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right] \] Зная, что \( \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right] - \left[\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = 0 \]
Задание №2: Интегралы
Перейдем к интегральным заданиям.
a) Пример расчета интеграла:
تطتعنيب \(\int_{2}^{3} x^2 \, dx\): \[ S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{3} = \left[\frac{27}{3} - \frac{8}{3}\right] = \frac{19}{3} \]
Если необходимо, могу продолжить расчеты для других интегралов. Дайте знать, если нужно больше примеров или объяснений!
