1
1 вариант
10
34
16
22 24
20
2 вариант
3 вариант
4
Стили
4 вариант
№ 1. Найдите площадь фигуры (предварительно сделайте рисунок), ограниченной
а) графиком функции у и осью абсцисс
y = 4x - x ^ 2
6) графиком функции у, осью ординат и прямой у
y = 4x - x ^ 2 y = 4
y = 6x - x ^ 2
y = 9
y = 8x - x ^ 2
y = 2x - x ^ 2 y = 1
y = 8x - x ^ 2 y = 16
в) графиком функции у, осью абсцисс и прямыми х, их
y = cos x
y=sinx,
H
y = - sin x
y = - cos x
+ №2. Вслите
a) integrate x ^ 2 dx from 2 to 3
a) int 1 x ^ 3 dx 1
a) integrate 2x ^ 2 dx from 1 to 4
a) integrate x ^ 2 dx from a to b 0
6) integrate (3x ^ 2 - 2x) dx from 2 to 3
6) integrate (3x ^ 2 + 4x) dx
6) integrate (x ^ 3 + 2x) dx from 1 to 1 1
B) integrate (x ^ 2 + 4x - 1) dx from - 1 to 0
B) int^ 1 ^ 1 (x ^ 2 - 2x + 1) dx i
Β) integrate (3x ^ 2 - 4x + 2) dx from - 1 to 4 n
Β) [(x ^ 2 + 2x - 1) * a ^ 2 * x]
1) sin xáx
1) cos xá
F) cos xdx
)sin xx
а правописания с ИИ
F4
F9
F5
acer
VT
P6
& ?
7
* 8
( 9
) 0.
P
2
1
D
End
Jb
y = 2x - x ^ 2
y - 6x - x ^ 2
x_{1} = pi/4
x_{2} = pi/3
x_{1} = pi/6
x_{3} = pi/4
x_{2} = pi/3
x_{2} = pi/3
x_{1} = pi/6
integrate (3x ^ 2 - 2x) dx from a to b
4/7
2/3
- 3/2
x_{2} = pi/3
1/3
Давайте разберем задания по порядку и подробно объясним каждое из них.
### Задание №1: Найдите площадь фигур
**a)** Найдите площадь, ограниченную графиком функции \( y = 4x - x^2 \) и осью абсцисс.
1. **Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс**. Для этого приравняем функцию к нулю:
\[
4x - x^2 = 0
\]
Это уравнение можно переписать как:
\[
x(4 - x) = 0
\]
Таким образом, у нас есть два корня:
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 4
\]
2. **Нарисуем график функции**. Это квадратная функция, которая открыта вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках \( (0, 0) \) и \( (4, 0) \), а максимальное значение достигает в точке \( x = 2 \), где:
\[
y(2) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 8
\]
3. **Найдём площадь фигуры** под графиком функции и выше оси абсцисс, используя определённый интеграл:
\[
S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx
\]
4. **Вычисляем интеграл**:
\[
S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2(4^2) - \frac{4^3}{3} \right] - \left[ 0 \right]
\]
\[
= \left[ 32 - \frac{64}{3} \right] = \frac{96}{3} - \frac{64}{3} = \frac{32}{3}
\]
Площадь равна \( \frac{32}{3} \).
---
**б)** Теперь найдем площадь, ограниченную графиком функции \( y = 4x - x^2 \), осью ординат и прямой \( y = 4 \).
1. **Найдем точки пересечения функции с прямой**:
\[
4x - x^2 = 4
\]
Переписываем в стандартном виде:
\[
x^2 - 4x + 4 = 0
\]
Это квадратное уравнение имеет корень:
\[
(x - 2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
2. **Нарисуем график**. В точке \( x = 2 \) функции пересекают прямую, также у нас есть начало координат \( (0, 0) \).
3. **Вычисляем площадь**:
\[
S = \int_{0}^{2} (4 - (4x - x^2)) \, dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx
\]
Определяем интеграл:
\[
= \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2}
\]
Вычисляем:
\[
= \left[ \frac{8}{3} - 8 + 8 \right] - 0 = \frac{8}{3}
\]
---
**в)** Найдите площадь, ограниченную графиками \( y = \cos x \), \( y = \sin x \), \( y = -\sin x \), и \( y = -\cos x \).
1. **Найдем точки пересечения функций**.
\[
\cos x = \sin x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi
\]
Проверим на интервале \( [0, 2\pi] \):
- Пересечение: \( x = \frac{\pi}{4} \) и \( x = \frac{5\pi}{4} \).
Для \( y = -\sin x \) и \( y = -\cos x \):
\[
-\cos x = -\sin x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}
\]
2. **Вычислим площадь, используя интеграл**:
\[
S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos x - (-\sin x)) \, dx
\]
\[
= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\cos x + \sin x) \, dx
\]
3. **Вычисляем интеграл**:
\[
= [\sin x - \cos x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = \left[\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right] - \left[\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]
\]
Зная, что \( \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):
\[
= \left[-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right] - \left[\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] = 0
\]
### Задание №2: Интегралы
Перейдем к интегральным заданиям.
**a)** Пример расчета интеграла:
1. تطتعنيب \(\int_{2}^{3} x^2 \, dx\):
\[
S = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{2}^{3} = \left[\frac{27}{3} - \frac{8}{3}\right] = \frac{19}{3}
\]
2. Если необходимо, могу продолжить расчеты для других интегралов. Дайте знать, если нужно больше примеров или объяснений!
