Для решения задачи найдем предел функции при x, стремящемся к -3:
[
\lim_{x \to -3} \frac{x^3 + 27}{x + 3}
]
Шаг 1: Подставим значение в предел
Для начала подставим значение ( x = -3 ) в выражение:
[
\frac{(-3)^3 + 27}{-3 + 3} = \frac{-27 + 27}{0} = \frac{0}{0}
]
Мы получили неопределенность вида ( \frac{0}{0} ), что означает, что необходимо упростить выражение.
Шаг 2: Упростим выражение
Заметим, что ( x^3 + 27 ) можно разложить с помощью формулы суммы кубов:
[
x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)
]
Шаг 3: Подставим разложение в предел
Теперь мы можем подставить это разложение в предел:
[
\lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x + 3}
]
При условии ( x \neq -3 ) мы можем сократить ( x + 3 ):
[
\lim_{x \to -3} (x^2 - 3x + 9)
]
Шаг 4: Подставим значение в упрощенное выражение
Теперь подставим ( x = -3 ) в упрощенное выражение:
[
(-3)^2 - 3(-3) + 9
]
Посчитаем:
[
9 + 9 + 9 = 27
]
Ответ
Итак, предел функции при ( x \to -3 ) равен 27:
[
\lim_{x \to -3} \frac{x^3 + 27}{x + 3} = 27
]
