Решим обе части задачи по порядку.
Задача 1:
Дано:
- Угол ( ZB = 45° )
- Отрезки ( BN = 8 , \text{см} ) и ( NC = 6 , \text{см} )
- Высота ( AN ) делит сторону ( BC ) на ( BN ) и ( NC )
Цель: Найти площадь треугольника ( ABC ) и сторону ( AC ).
Шаг 1: Найдем длину стороны ( BC )
Сначала найдем длину стороны ( BC ):
[
BC = BN + NC = 8 , \text{см} + 6 , \text{см} = 14 , \text{см}
]
Шаг 2: Найдем высоту ( AN )
Чтобы найти высоту ( AN ), используя треугольник ( ABN ), где (\angle ABN = 45°), мы можем воспользоваться тригонометрией.
Поскольку:
[
\tan(45°) = \frac{AN}{BN}
]
и знаем, что ( \tan(45°) = 1 ), то получаем:
[
1 = \frac{AN}{8 , \text{см}} \implies AN = 8 , \text{см}
]
Шаг 3: Найдем площадь треугольника ( ABC )
Площадь треугольника ( ABC ) можно найти по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AN
]
Подставляем наши значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 14 , \text{см} \times 8 , \text{см} = \frac{1}{2} \times 112 , \text{см}^2 = 56 , \text{см}^2
]
Шаг 4: Найдем сторону ( AC )
Используем теорему Пифагора в треугольнике ( ANC ) для нахождения стороны ( AC ):
[
AC = \sqrt{AN^2 + NC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 , \text{см}
]
Ответ:
- Площадь треугольника ( ABC ) равна ( 56 , \text{см}^2 )
- Длина стороны ( AC ) равна ( 10 , \text{см} )
Задача 2:
Дано:
- Диагональ прямоугольника ( d = 52 , \text{мм} )
- Соотношение сторон ( a:b = 5:12 )
Цель: Найти периметр прямоугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны
Пусть стороны прямоугольника будут ( a = 5k ) и ( b = 12k ), где ( k ) — общий множитель.
Шаг 2: Найдем ( k ) с помощью диагонали
Используя теорему Пифагора, для диагонали ( d ) мы имеем:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Подставляя значения:
[
52 = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2}
]
Решая уравнение:
[
52 = \sqrt{25k^2 + 144k^2} \implies 52 = \sqrt{169k^2} \implies 52 = 13k
]
Теперь найдем ( k ):
[
k = \frac{52}{13} = 4
]
Шаг 3: Найдем стороны ( a ) и ( b )
Теперь подставим значение ( k ):
[
a = 5k = 5 \times 4 = 20 , \text{мм}
]
[
b = 12k = 12 \times 4 = 48 , \text{мм}
]
Шаг 4: Найдем периметр
Периметр прямоугольника считается по формуле:
[
P = 2(a + b) = 2(20 + 48) = 2 \times 68 = 136 , \text{мм}
]
Ответ: Периметр прямоугольника равен ( 136 , \text{мм} ).
