Вариант II. 1. В треугольнике АВС ZB = 45°, высота делит сторону ВС на отрезки BN = 8 см, NC = 6 см. Найдите площадь треугольника ABC и сторону АС. 2. Диагональ прямоугольника…

Решим обе части задачи по порядку.

Задача 1:

Дано:

• Угол \( ZB = 45° \)
• Отрезки \( BN = 8 \, \text{см} \) и \( NC = 6 \, \text{см} \)
• Высота \( AN \) делит сторону \( BC \) на \( BN \) и \( NC \)

Цель: Найти площадь треугольника \( ABC \) и сторону \( AC \).

Шаг 1: Найдем длину стороны \( BC \)

Сначала найдем длину стороны \( BC \): \[ BC = BN + NC = 8 \, \text{см} + 6 \, \text{см} = 14 \, \text{см} \]

Шаг 2: Найдем высоту \( AN \)

Чтобы найти высоту \( AN \), используя треугольник \( ABN \), где \(\angle ABN = 45°\), мы можем воспользоваться тригонометрией.

Поскольку: \[ \tan(45°) = \frac{AN}{BN} \] и знаем, что \( \tan(45°) = 1 \), то получаем: \[ 1 = \frac{AN}{8 \, \text{см}} \implies AN = 8 \, \text{см} \]

Шаг 3: Найдем площадь треугольника \( ABC \)

Площадь треугольника \( ABC \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times AN \] Подставляем наши значения: \[ S = \frac{1}{2} \times 14 \, \text{см} \times 8 \, \text{см} = \frac{1}{2} \times 112 \, \text{см}^2 = 56 \, \text{см}^2 \]

Шаг 4: Найдем сторону \( AC \)

Используем теорему Пифагора в треугольнике \( ANC \) для нахождения стороны \( AC \): \[ AC = \sqrt{AN^2 + NC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см} \]

Ответ:

• Площадь треугольника \( ABC \) равна \( 56 \, \text{см}^2 \)
• Длина стороны \( AC \) равна \( 10 \, \text{см} \)

Задача 2:

Дано:

• Диагональ прямоугольника \( d = 52 \, \text{мм} \)
• Соотношение сторон \( a:b = 5:12 \)

Цель: Найти периметр прямоугольника.

Шаг 1: Обозначим стороны

Пусть стороны прямоугольника будут \( a = 5k \) и \( b = 12k \), где \( k \) — общий множитель.

Шаг 2: Найдем \( k \) с помощью диагонали

Используя теорему Пифагора, для диагонали \( d \) мы имеем: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставляя значения: \[ 52 = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} \] Решая уравнение: \[ 52 = \sqrt{25k^2 + 144k^2} \implies 52 = \sqrt{169k^2} \implies 52 = 13k \] Теперь найдем \( k \): \[ k = \frac{52}{13} = 4 \]

Шаг 3: Найдем стороны \( a \) и \( b \)

Теперь подставим значение \( k \): \[ a = 5k = 5 \times 4 = 20 \, \text{мм} \] \[ b = 12k = 12 \times 4 = 48 \, \text{мм} \]

Шаг 4: Найдем периметр

Периметр прямоугольника считается по формуле: \[ P = 2(a + b) = 2(20 + 48) = 2 \times 68 = 136 \, \text{мм} \]

Ответ: Периметр прямоугольника равен \( 136 \, \text{мм} \).