Давайте разберем задачу пошагово.
Условие:
- Первый рабочий (Рабочий 1) делает на 15 деталей больше, чем второй рабочий (Рабочий 2) за 1 час.
- Рабочий 1 выполняет заказ в 90 деталей на 3 часа быстрее, чем Рабочий 2.
Обозначим количество деталей, которые второй рабочий делает за 1 час, как ( x ). Соответственно, количество деталей, которое делает первый рабочий за 1 час, будет ( x + 15 ).
Шаг 1: Определим время выполнения заказа для каждого рабочего
Для Рабочего 2:
Пусть Рабочий 2 делает ( x ) деталей в час. Чтобы выполнить заказ на 90 деталей, он потратит:
[
t_2 = \frac{90}{x}
]
Для Рабочего 1:
Рабочий 1 делает ( x + 15 ) деталей в час. Время, которое он потратит на выполнение заказа:
[
t_1 = \frac{90}{x + 15}
]
Шаг 2: Условие о времени выполнения заказа
Согласно условию, Рабочий 1 выполняет заказ на 3 часа быстрее, чем Рабочий 2. То есть:
[
t_1 = t_2 - 3
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{90}{x + 15} = \frac{90}{x} - 3
]
Шаг 3: Устранение дробей
Умножим уравнение на ( x(x + 15) ), чтобы избавиться от дробей:
[
90x = 90(x + 15) - 3x(x + 15)
]
Раскроем скобки:
[
90x = 90x + 1350 - 3x^2 - 45x
]
Упростим уравнение:
[
0 = 1350 - 3x^2 - 45x
]
Шаг 4: Перепишем уравнение
Соберем все слагаемые в одну сторону:
[
3x^2 + 45x - 1350 = 0
]
Шаг 5: Упростим уравнение
Разделим все члены на 3:
[
x^2 + 15x - 450 = 0
]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-450) = 225 + 1800 = 2025
]
Корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 \pm 45}{2}
]
Таким образом, получаем два возможных решения:
- ( x = \frac{30}{2} = 15 )
- ( x = \frac{-60}{2} = -30 ) (не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным)
Шаг 7: Ответ
Количество деталей, которое делает второй рабочий за 1 час, равно ( \boxed{15} ).
