Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2. Боковое ребро призмы равно 2. Найдите объём и площадь полной поверхности.

Чтобы решить задачу о нахождении объёма и площади полной поверхности прямой треугольной призмы с заданными параметрами, давайте разберёмся по шагам.

Данные задачи:

1. Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2.
2. Боковое ребро призмы (высота) равно 2.

Шаг 1: Найдем объём призмы

Объём \( V \) прямой призмы рассчитывается по формуле: \[ V = S_{основания} \cdot h \] где:

• \( S_{основания} \) — площадь основания призмы,
• \( h \) — высота (боковое ребро призмы).

1.1: Найдем площадь основания

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — длины катетов треугольника. В нашем случае \( a = 1 \) и \( b = 2 \): \[ S_{основания} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1 \]

1.2: Найдем объём

Теперь подставим найденные значения в формулу для объёма: \[ V = S_{основания} \cdot h = 1 \cdot 2 = 2 \]

Шаг 2: Найдем площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности \( S \) прямой призмы рассчитывается по формуле: \[ S = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковая} \] где \( S_{боковая} \) — площадь боковой поверхности призмы.

2.1: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности состоит из трех прямоугольников (грани, которые соединяют основание с верхней частью призмы):

1. Одна грань имеет размер 2 (в высоту) и 1 (ширина катета): \[ S_1 = 2 \cdot 1 = 2 \]
2. Вторая грань также имеет размер 2 (высота) и 2 (ширина): \[ S_2 = 2 \cdot 2 = 4 \]
3. Третья грань — это гипотенуза прямоугольного треугольника. Для нахождения её длины воспользуемся теоремой Пифагора: \[ c = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \] Площадь этой грани: \[ S_3 = 2 \cdot \sqrt{5} \]

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности: \[ S_{боковая} = S_1 + S_2 + S_3 = 2 + 4 + 2\sqrt{5} \]

2.2: Найдем площадь полной поверхности

Теперь можем подставить все значения в формулу площади полной поверхности: \[ S = 2 \cdot S_{основания} + S_{боковая} = 2 \cdot 1 + (2 + 4 + 2\sqrt{5}) = 2 + 6 + 2\sqrt{5} = 8 + 2\sqrt{5} \]

Ответ:

• Объём призмы: \( V = 2 \)
• Площадь полной поверхности: \( S = 8 + 2\sqrt{5} \)