4x²-4x+1/2x-3 ≤ 0

Для решения неравенства \( \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 3} \leq 0 \) будем следовать пошагово.

Шаг 1: Анализ числителя и знаменателя

Первое, что нужно сделать, это проанализировать числитель и знаменатель в дроби.

Числитель: \( 4x^2 - 4x + 1 \)

Это квадратное уравнение. Для его решения можно использовать дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, у уравнения есть один корень. Этот корень определяется по формуле: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Следовательно, числитель \( 4x^2 - 4x + 1 \) при \( x = \frac{1}{2} \) равен нулю. Это означает, что \( 4x^2 - 4x + 1 \geq 0 \) для всех \( x \), так как это парабола, открытая вверх и она касается оси \( x \) в одной точке.

Шаг 2: Анализ знака знаменателя

Знаменатель: \( 2x - 3 \)

Устанавливаем, когда знаменатель равен нулю: \[ 2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} \]

Знаменатель будет положительным, если \( x > \frac{3}{2} \), и отрицательным, если \( x < \frac{3}{2} \).

Шаг 3: Определение знаков дроби

Теперь мы можем проанализировать знак дроби \( \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 3} \):

• В промежутке \( (-\infty, \frac{1}{2}) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( < 0 \) \(\Rightarrow\) дробь \( < 0 \)
• В точке \( x = \frac{1}{2} \): дробь \( = 0 \) (так как числитель равен 0)
• В интервале \( (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( < 0 \) \(\Rightarrow\) дробь \( < 0 \)
• В точке \( x = \frac{3}{2} \): дробь неопределена (знаменатель равен 0)
• В интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( > 0 \) \(\Rightarrow\) дробь \( > 0 \)

Шаг 4: Составляем решение

Теперь можем записать все найденные интервалы, где дробь меньше или равна нулю:

• \( (-\infty, \frac{1}{2}] \)
• \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \)

Таким образом, решение неравенства \( \frac{4x^2 - 4x + 1}{2x - 3} \leq 0 \) будет: \[ x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \]

На этом этапе мы завершили решение неравенства. Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения по шагам, не стесняйтесь спрашивать!