3x+y+4=0 x2-y2=2
Давайте решим систему уравнений:
- \(3x + y + 4 = 0\)
- \(x^2 - y^2 = 2\)
Шаг 1: Изолируем переменную в одном из уравнений
Начнем с первого уравнения и выразим \(y\) через \(x\):
\[ y = -3x - 4 \]
Шаг 2: Подставляем выражение для \(y\) во второе уравнение
Теперь подставим выражение для \(y\) во второе уравнение \(x^2 - y^2 = 2\):
\[ x^2 - (-3x - 4)^2 = 2 \]
Теперь раскроем квадрат:
\[ (-3x - 4)^2 = 9x^2 + 24x + 16 \]
Подставляем это в уравнение:
\[ x^2 - (9x^2 + 24x + 16) = 2 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Приведем все к одному уравнению:
\[ x^2 - 9x^2 - 24x - 16 = 2 \]
Это упростится до:
\[ -8x^2 - 24x - 16 = 2 \]
Переносим 2 в левую часть:
\[ -8x^2 - 24x - 18 = 0 \]
Шаг 4: Умножим на -1
Умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
\[ 8x^2 + 24x + 18 = 0 \]
Шаг 5: Делим на 2
Чтобы упростить уравнение, разделим все коэффициенты на 2:
\[ 4x^2 + 12x + 9 = 0 \]
Шаг 6: Используем формулу дискриминанта
Теперь можно решить квадратное уравнение. Напоминаем, что оно имеет вид \(ax^2 + bx + c = 0\), где:
- \(a = 4\)
- \(b = 12\)
- \(c = 9\)
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 \]
Шаг 7: Находим корни уравнения
Так как дискриминант равен нулю, это уравнение имеет один корень:
\[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \]
Шаг 8: Находим \(y\)
Теперь подставим значение \(x = -\frac{3}{2}\) обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = -3\left(-\frac{3}{2}\right) - 4 = \frac{9}{2} - 4 = \frac{9}{2} - \frac{8}{2} = \frac{1}{2} \]
Ответ
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ x = -\frac{3}{2}, \quad y = \frac{1}{2} \]
Это означает, что точка \((-1.5, 0.5)\) является решением данной системы уравнений.
