2. Точка M не принадлежит плоскости квадрата ABCD, угол MBA=40°, угол MBC=90°. Найдите угол между прямыми MB и CD. Выберите вариаит ответа.
1) 90°
2) 40°
3) 50°
4) 130°
Чтобы решить задачу, начнем с визуализации расположения точек и анализа углов.
1. **Построение фигуры:**
- Пусть квадрат ABCD расположен в плоскости XY. Принято считать, что:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)
- Точка M находится выше плоскости квадрата, то есть ее координаты имеют вид M(1, 0, h), где h > 0.
2. **Известные углы:**
- Угол MBA = 40°
- Угол MBC = 90°
3. **Определение направлений:**
- Векторы, соответствующие сторонам квадрата:
- Вектор AB = (B - A) = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0)
- Вектор BC = (C - B) = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1)
- Вектор CD = (D - C) = (0, 1) - (1, 1) = (-1, 0)
4. **Определение вектора MB:**
- Вектор MB = B - M = (1, 0) - (1, 0, h) = (0, 0, -h)
5. **Определение вектора MC:**
- Вектор MC = C - M = (1, 1) - (1, 0, h) = (0, 1, -h)
6. **Найдем угол между MB и CD:**
- Поскольку вектор CD находится в плоскости XY, он можно представить как (-1, 0, 0).
- Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения.
7. **Формула для нахождения угла между векторами:**
\[
\cos(\phi) = \frac{\vec{MB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{MB}| |\vec{CD}|}
\]
Вектор MB = (0, 0, -h) и вектор CD = (-1, 0, 0). Сначала найдём их длины и скалярное произведение:
- Длина MB:
\[
|\vec{MB}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-h)^2} = h
\]
- Длина CD:
\[
|\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1
\]
- Скалярное произведение:
\[
\vec{MB} \cdot \vec{CD} = 0*(-1) + 0*0 + (-h)*0 = 0
\]
8. **Подставив в формулу:**
\[
\cos(\phi) = \frac{0}{h \cdot 1} = 0
\]
Это означает, что угол φ между векторами MB и CD равен 90°.
Таким образом, ответ на задачу:
**Угол между прямыми MB и CD равен 90°.**
Ответ: **1) 90°**.
