Привет! Давай разберемся с этой задачкой.
Нам нужно найти все значения (x), при которых трехчлен (3x^2 - 8x - 8) будет не меньше (-12).
Сначала приведем неравенство к стандартному виду, перенеся все на одну сторону:
[3x^2 - 8x - 8 + 12 \geq 0]
[3x^2 - 8x + 4 \geq 0]
Теперь найдем корни квадратного уравнения (3x^2 - 8x + 4 = 0). Для этого можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения, но для начала убедимся, что дискриминант больше или равен нулю.
Дискриминант D вычисляется по формуле:
[D = b^2 - 4ac]
где (a = 3), (b = -8), (c = 4).
Подставим и рассчитаем:
[D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16]
Так как (D > 0), у нас есть два различных действительных корня.
Теперь найдем корни:
[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}]
[x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{6}]
[x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6}]
Итак, имеем два корня:
[x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2]
[x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3}]
Теперь строим числовую прямую, отмечаем на ней найденные корни (x_1 = 2) и (x_2 = \frac{2}{3}) и определяем знаки неравенства на получившихся интервалах. Так как старший коэффициент положительный (равен 3), ветви параболы направлены вверх, следовательно, неравенство (3x^2 - 8x + 4 \geq 0) будет выполняться за пределами корней, то есть на интервалах ((-\infty;\frac{2}{3}) \cup (2;+\infty)).
Таким образом, правильный ответ - второй вариант: (x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (2; +\infty)).
