Коля собирает наклейки с динозаврами, которые продаются в закрытых упаковках. Всего в магазинах есть 20 20 разных наклеек, и они равномерно распределены, то есть в каждой упаковке…
Коля собирает наклейки с динозаврами, которые продаются в закрытых упаковках. Всего в магазинах есть 20 20 разных наклеек, и они равномерно распределены, то есть в каждой упаковке может с равной вероятностью оказаться любая из 20 20 наклеек. У Коли есть 7 7 разных наклеек. Какова вероятность того, что для получения следующей наклейки Коле придётся купить ещё 1 1 или 2 2 упаковки?
Решим задачу, разбив её на несколько шагов.
Дано:
- Всего \( N = 20 \) различных наклеек.
- У Коли уже есть \( K = 7 \) различных наклеек.
Задача:
Найти вероятность того, что Коля для получения следующей наклейки должен купить ещё 1 или 2 упаковки.
Пошаговое решение:
Определим количество недостающих наклеек: Коля уже собрал 7 наклеек, значит, ему не хватает \( N - K = 20 - 7 = 13 \) наклеек.
Вероятности для количества упаковок: Теперь рассчитаем вероятность получить нужную наклейку, купив 1 упаковку, и затем 2 упаковки.
Вероятность за 1 упаковку: При покупке 1 упаковки, вероятность того, что в ней окажется нужная наклейка равна количеству недостающих наклеек разделить на общее количество уникальных наклеек: \[ P(1) = \frac{13}{20} \]
Вероятность за 2 упаковки: Чтобы посчитать вероятность того, что нужная наклейка появится во 2 упаковке, мы должны учитывать, что в первой упаковке она не может быть.
Вероятность того, что в первой упаковке не будет нужной наклейки: \[ P(\text{не нужная в 1-й}) = \frac{7}{20} \]
Вероятность того, что во второй упаковке будет нужная наклейка: \[ P(\text{нужная во 2-й}) = \frac{13}{20} \]
Следовательно, вероятность того, что первых не будет нужной наклейки, а во второй будет: \[ P(2) = P(\text{не нужная в 1-й}) \times P(\text{нужная во 2-й}) = \frac{7}{20} \times \frac{13}{20} = \frac{91}{400} \]
Суммируем вероятности: Теперь мы суммируем вероятности 1 и 2 упаковки: \[ P(\text{1 или 2 упаковки}) = P(1) + P(2) = \frac{13}{20} + \frac{91}{400} \]
Чтобы сложить дроби, преобразуем к общему знаменателю. Общий знаменатель между \( 20 \) и \( 400 \) — это \( 400 \): \[ P(1) = \frac{13}{20} = \frac{13 \times 20}{20 \times 20} = \frac{260}{400} \]
Теперь можем сложить: \[ P(\text{1 или 2 упаковки}) = \frac{260}{400} + \frac{91}{400} = \frac{351}{400} \]
Ответ:
Вероятность того, что для получения следующей наклейки Коле придётся купить ещё 1 или 2 упаковки, составляет \( \frac{351}{400} \), что примерно равно \( 0.8775 \) или \( 87.75\% \).
