Давайте разберем задачу пошагово.
Условие задачи
Мы бросаем игральную кость до тех пор, пока не выпадет 5 очков. Нам нужно найти вероятность того, что потребуется сделать ровно 3 броска, и что число бросков больше 2.
Шаг 1: Определим вероятности
Игральная кость имеет 6 сторон. Вероятность выпадения 5 на каждом броске равна:
[
P(5) = \frac{1}{6}
]
Вероятность не получить 5 на каждом броске равна:
[
P(\text{не } 5) = \frac{5}{6}
]
Шаг 2: Условия задачи
Нам нужно, чтобы мы сделали ровно 3 броска и на третьем броске выпала 5. Это означает, что на первых двух бросках не должно выпасть 5, а на третьем броске — должно.
Шаг 3: Вероятность событий
События:
- На первом броске не выпадает 5: (P(\text{не } 5) = \frac{5}{6})
- На втором броске не выпадает 5: (P(\text{не } 5) = \frac{5}{6})
- На третьем броске выпадает 5: (P(5) = \frac{1}{6})
Шаг 4: Составим полную вероятность
Согласно правилам вероятности, общая вероятность того, что на первых двух бросках не выпадет 5, а на третьем — выпадет, можно вычислить следующим образом:
[
P(\text{требуется 3 броска}) = P(\text{не } 5) \cdot P(\text{не } 5) \cdot P(5) = \left(\frac{5}{6}\right) \cdot \left(\frac{5}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)
]
Теперь подставим значения:
[
P(\text{требуется 3 броска}) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}
]
Шаг 5: Условия больше 2 бросков
Так как в условии задачи уже указано, что мы выполняем более 2 бросков (до тех пор, пока не выпадет 5), это условие автоматически выполняется в нашем расчете, поскольку нам нужно было именно 3 броска. Поэтому вероятность того, что нам нужно 3 броска, учитывает условие «больше 2 бросков».
Ответ
Таким образом, вероятность того, что потребуется сделать ровно 3 броска, равная:
[
P = \frac{25}{216} \approx 0.1157
]
Это значит, что приблизительно 11.57% случаев мы получим 5 очков именно на третьем броске, после двух предыдущих неудач.
