Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что мы знаем о конусе. Объем конуса рассчитывается по следующей формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h,
]
где (V) — объем конуса, (r) — радиус основания, (h) — высота конуса.
Ваша задача состоит в том, чтобы найти диаметр основания конуса, зная, что объем конуса равен ( \frac{64\pi}{3} ).
Шаг 1: Подставим известные значения
Мы знаем объем конуса:
[
\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{64\pi}{3}.
]
Шаг 2: Упрощаем уравнение
Теперь можно умножить обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
\pi r^2 h = 64\pi.
]
Теперь разделим обе стороны на ( \pi ) (поскольку ( \pi ) не равно 0):
[
r^2 h = 64.
]
Шаг 3: Поймем, как связано r и h
Осевое сечение конуса есть прямоугольный треугольник. Из геометрии известные отношения:
- В прямоугольном треугольнике высота (h) конуса будет одной из катетов и радиус (r) — другой катет, а наклонная сторона (гипотенуза) будет образовывать угол с этими двумя сторонами.
Шаг 4: Используем известное соотношение
Если высота (h) равна радиусу (r) (это часто встречающийся случай, но в задачах можно использовать разные соотношения), тогда ( h = r ).
Подставим это значение в уравнение:
[
r^2 \cdot r = 64,
]
что дает нам:
[
r^3 = 64.
]
Шаг 5: Находим радиус
Теперь решим это уравнение. Для этого возьмем кубический корень из 64:
[
r = \sqrt[3]{64} = 4.
]
Шаг 6: Находим диаметр
Чтобы найти диаметр основания конуса, используем формулу:
[
d = 2r.
]
Подставляем значение радиуса:
[
d = 2 \cdot 4 = 8.
]
Ответ
Таким образом, диаметр основания конуса равен ( 8 ) единицам.
