Найдем вероятность попадания Стрелка в мишень ровно 8 раз из 14. Для этого воспользуемся биномиальным распределением. P(8 попаданий) = C(14, 8) * (4/10)^8 * (6/10)^(14-8) Где…

Для решения задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения. Давайте поэтапно разберемся, как рассчитать вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз из 14.

Шаг 1: Понимание параметров

В нашей задаче:

• n = 14 (общее количество попыток),
• k = 8 (количество удачных попаданий),
• p = 4/10 = 0.4 (вероятность удачного попадания),
• q = 1 - p = 6/10 = 0.6 (вероятность промаха).

Шаг 2: Использование формулы биномиального распределения

Формула для вычисления вероятности попадания ровно \( k \) раз в \( n \) попытках звучит так:

\[ P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент (количество сочетаний из \( n \) по \( k \)), который вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]

Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента

В нашем случае:

\[ C(14, 8) = \frac{14!}{8! \cdot (14-8)!} = \frac{14!}{8! \cdot 6!} \]

Чтобы это вычислить:

\[ 14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \]

Следовательно,

\[ C(14, 8) = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003 \]

Шаг 4: Подстановка значений в формулу

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ P(8; 14, 0.4) = C(14, 8) \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^{(14-8)} \] \[ P(8; 14, 0.4) = 3003 \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^6 \]

Шаг 5: Вычисление

Теперь вычислим:

\[ (0.4)^8 \approx 0.00065536 \] \[ (0.6)^6 \approx 0.046656 \]

Соберем всё вместе:

\[ P(8; 14, 0.4) = 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656 \]

Умножаем:

\[ P(8; 14, 0.4) \approx 3003 \cdot 0.000030651 = 0.09193 \]

Шаг 6: Округление до тысячных

Теперь округлим полученное значение до тысячных:

\[ P(8; 14, 0.4) \approx 0.092 \]

Ответ

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз из 14, составляет примерно 0.092.