Для решения задачи мы воспользуемся формулой биномиального распределения. Давайте поэтапно разберемся, как рассчитать вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз из 14.
Шаг 1: Понимание параметров
В нашей задаче:
- n = 14 (общее количество попыток),
- k = 8 (количество удачных попаданий),
- p = 4/10 = 0.4 (вероятность удачного попадания),
- q = 1 - p = 6/10 = 0.6 (вероятность промаха).
Шаг 2: Использование формулы биномиального распределения
Формула для вычисления вероятности попадания ровно ( k ) раз в ( n ) попытках звучит так:
[
P(k; n, p) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент (количество сочетаний из ( n ) по ( k )), который вычисляется по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
]
Шаг 3: Вычисление биномиального коэффициента
В нашем случае:
[
C(14, 8) = \frac{14!}{8! \cdot (14-8)!} = \frac{14!}{8! \cdot 6!}
]
Чтобы это вычислить:
[
14! = 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!
]
Следовательно,
[
C(14, 8) = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003
]
Шаг 4: Подстановка значений в формулу
Теперь подставим все значения в формулу:
[
P(8; 14, 0.4) = C(14, 8) \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^{(14-8)}
]
[
P(8; 14, 0.4) = 3003 \cdot (0.4)^8 \cdot (0.6)^6
]
Шаг 5: Вычисление
Теперь вычислим:
[
(0.4)^8 \approx 0.00065536
]
[
(0.6)^6 \approx 0.046656
]
Соберем всё вместе:
[
P(8; 14, 0.4) = 3003 \cdot 0.00065536 \cdot 0.046656
]
Умножаем:
[
P(8; 14, 0.4) \approx 3003 \cdot 0.000030651 = 0.09193
]
Шаг 6: Округление до тысячных
Теперь округлим полученное значение до тысячных:
[
P(8; 14, 0.4) \approx 0.092
]
Ответ
Вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 8 раз из 14, составляет примерно 0.092.
