5.131. Разложите на множители: 1) a²-b²-a+b; 2) a²-b²+a+b; 3) x³-x²y-xy²+y³; 4) a³+a²b-ab²-b³;
Решим каждую из предложенных задач по разложению на множители.
1) \( a^2 - b^2 - a + b \)
Для начала мы заметим, что у нас есть два выражения: \( a^2 - b^2 \) и \( -a + b \). Перепишем данное выражение:
\[ a^2 - b^2 - a + b = (a^2 - b^2) - (a - b) \]
Теперь используем формулу разности квадратов для \( a^2 - b^2 \):
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Следовательно,
\[ (a - b)(a + b) - (a - b) \]
Вынесем общий множитель \( (a-b) \):
\[ = (a-b)((a + b) - 1) = (a-b)(a + b - 1) \]
Итак, разложение:
\[
a^2 - b^2 - a + b = (a - b)(a + b - 1)
\]
2) \( a^2 - b^2 + a + b \)
Аналогично рассмотрим это выражение:
\[ a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a + b) \]
Используя формулу разности квадратов:
\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]
Получаем:
\[ = (a-b)(a+b) + (a + b) = (a+b)(a-b + 1) \]
Таким образом, разложение:
\[
a^2 - b^2 + a + b = (a + b)(a - b + 1)
\]
3) \( x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \)
Сначала соберем похожие члены:
\[ x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \]
Теперь мы можем воспользоваться формулой суммы кубов для первой части и сгруппировать второй:
\[ = (x+y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x + y) \]
Теперь вынесем общий множитель \( (x + y) \):
\[ = (x+y)((x^2 - xy + y^2) - xy) = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x+y)(x-y)^2 \]
Итак, разложение:
\[
x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = (x + y)(x - y)^2
\]
4) \( a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 \)
Сгруппируем члены по парам:
\[ = (a^3 + a^2b) + (-ab^2 - b^3) = a^2(a + b) - b^2(a + b) \]
Теперь снова вынесем общий множитель \( (a + b) \):
\[ = (a + b)(a^2 - b^2) \]
Используя формулу разности квадратов:
\[ = (a + b)(a - b)(a + b) \]
В итоге:
\[
a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 = (a + b)^2(a - b)
\]
Итоговые ответы:
\( a^2 - b^2 - a + b = (a - b)(a + b - 1) \)
\( a^2 - b^2 + a + b = (a + b)(a - b + 1) \)
\( x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = (x + y)(x - y)^2 \)
\( a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 = (a + b)^2(a - b) \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
