5.131. Разложите на множители: 1) a²-b²-a+b; 2) a²-b²+a+b; 3) x³-x²y-xy²+y³; 4) a³+a²b-ab²-b³;

Решим каждую из предложенных задач по разложению на множители. ### 1) \( a^2 - b^2 - a + b \) Для начала мы заметим, что у нас есть два выражения: \( a^2 - b^2 \) и \( -a + b \). Перепишем данное выражение: \[ a^2 - b^2 - a + b = (a^2 - b^2) - (a - b) \] Теперь используем формулу разности квадратов для \( a^2 - b^2 \): \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Следовательно, \[ (a - b)(a + b) - (a - b) \] Вынесем общий множитель \( (a-b) \): \[ = (a-b)((a + b) - 1) = (a-b)(a + b - 1) \] Итак, разложение: \[ a^2 - b^2 - a + b = (a - b)(a + b - 1) \] --- ### 2) \( a^2 - b^2 + a + b \) Аналогично рассмотрим это выражение: \[ a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a + b) \] Используя формулу разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Получаем: \[ = (a-b)(a+b) + (a + b) = (a+b)(a-b + 1) \] Таким образом, разложение: \[ a^2 - b^2 + a + b = (a + b)(a - b + 1) \] --- ### 3) \( x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \) Сначала соберем похожие члены: \[ x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \] Теперь мы можем воспользоваться формулой суммы кубов для первой части и сгруппировать второй: \[ = (x+y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x + y) \] Теперь вынесем общий множитель \( (x + y) \): \[ = (x+y)((x^2 - xy + y^2) - xy) = (x+y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x+y)(x-y)^2 \] Итак, разложение: \[ x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = (x + y)(x - y)^2 \] --- ### 4) \( a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 \) Сгруппируем члены по парам: \[ = (a^3 + a^2b) + (-ab^2 - b^3) = a^2(a + b) - b^2(a + b) \] Теперь снова вынесем общий множитель \( (a + b) \): \[ = (a + b)(a^2 - b^2) \] Используя формулу разности квадратов: \[ = (a + b)(a - b)(a + b) \] В итоге: \[ a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 = (a + b)^2(a - b) \] --- ### Итоговые ответы: 1) \( a^2 - b^2 - a + b = (a - b)(a + b - 1) \) 2) \( a^2 - b^2 + a + b = (a + b)(a - b + 1) \) 3) \( x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 = (x + y)(x - y)^2 \) 4) \( a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 = (a + b)^2(a - b) \) Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!