Найдите наименьшее и наибольшее значения степенной функции.

Для решения задачи находим наименьшее и наибольшее значения степенной функции \( y = x^{\frac{7}{2}} \) на полуинтервале \( (2, 5; 4] \). 1. **Анализ функции:** - Это степенная функция вида \( y = x^{\frac{7}{2}} \). - Функция определяется и непрерывна на \((2.5, 4]\). 2. **Производная функции:** Для нахождения экстремумов функции найдем первую производную: \[ y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} \] Уравняем производную к нулю для критических точек \[ \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} = 0 \] Это уравнение не имеет решений для \( x > 0 \), поэтому у функции нет внутренних экстремумов на указанном интервале. 3. **Значения на концах интервала:** Нужно проверить значения функции в конечных точках интервала: - Для \( x = 2.5 \): \[ y = (2.5)^{\frac{7}{2}} = (2.5)^{3.5} \approx 24.705 \] - Для \( x = 4 \): \[ y = 4^{\frac{7}{2}} = (2^2)^{\frac{7}{2}} = 2^7 = 128 \] 4. **Результат:** - Наибольшее значение функции на интервале: \( 128 \) при \( x = 4 \). - Наименьшее значение функции на интервале: приблизительно \( 24.705 \) при \( x = 2.5 \). Таким образом, функция возрастает на интервале \((2.5, 4]\), и \(4\) даёт максимальное значение.