Найдите наименьшее и наибольшее значения степенной функции.
Для решения задачи находим наименьшее и наибольшее значения степенной функции \( y = x^{\frac{7}{2}} \) на полуинтервале \( (2, 5; 4] \).
Анализ функции:
- Это степенная функция вида \( y = x^{\frac{7}{2}} \).
- Функция определяется и непрерывна на \((2.5, 4]\).
Производная функции: Для нахождения экстремумов функции найдем первую производную:
\[ y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} \]
Уравняем производную к нулю для критических точек \[ \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}} = 0 \]
Это уравнение не имеет решений для \( x > 0 \), поэтому у функции нет внутренних экстремумов на указанном интервале.
Значения на концах интервала:
Нужно проверить значения функции в конечных точках интервала:
Для \( x = 2.5 \):
\[ y = (2.5)^{\frac{7}{2}} = (2.5)^{3.5} \approx 24.705 \]
Для \( x = 4 \):
\[ y = 4^{\frac{7}{2}} = (2^2)^{\frac{7}{2}} = 2^7 = 128 \]
Результат:
- Наибольшее значение функции на интервале: \( 128 \) при \( x = 4 \).
- Наименьшее значение функции на интервале: приблизительно \( 24.705 \) при \( x = 2.5 \).
Таким образом, функция возрастает на интервале \((2.5, 4]\), и \(4\) даёт максимальное значение.
