Решением какого неравенства является объединение промежутков: (−3;4)∪(7;+∞)?

Чтобы определить, какое неравенство соответствует заданному объединению промежутков \((-3;4) \cup (7;+\infty)\), необходимо последовательно проанализировать каждое предложенное неравенство.

1. \( \frac{x^2 + 10x + 21}{x - 4} > 0 \)

• Числитель: \(x^2 + 10x + 21\) — это квадратное уравнение, решение которого дает нам нули: \(x = -3\) и \(x = -7\).
• Знаменатель: \(x - 4\), ноль в этой точке: \(x = 4\).
• Промежутки: \((-∞, -7)\), \((-7, -3)\), \((-3, 4)\), \((4, +∞)\).

Нам нужно, чтобы дробь была положительна:

• Между корнями \((-7, -3)\), \((4, +∞)\) — м.б. соответствует.
• Но не совпадает полностью с \( (-3; 4) \cup (7; +∞) \).

2. \( \frac{x^2 + x - 12}{x - 7} > 0 \)

• Числитель: \(x^2 + x - 12\) решается через нахождение корней: \(x = 3\) и \(x = -4\).
• Знаменатель: \(x - 7\), ноль в этой точке: \(x = 7\).
• Промежутки: \((-∞, -4)\), \((-4, 3)\), \((3, 7)\), \((7, +∞)\).

Проверяем положительность:

• Промежутки \((3, 7)\) и \((7, +∞)\).

3. \( \frac{x^2 - x - 12}{x - 7} < 0 \)

• Числитель: \(x^2 - x - 12\) имеет корни: \(x = 4\) и \(x = -3\).
• Знаменатель: \(x - 7\), ноль в этой точке: \(x = 7\).
• Промежутки: \((-∞, -3)\), \((-3, 4)\), \((4, 7)\), \((7, +∞)\).

Чтобы дробь была меньше нуля, отрицательные промежутки:

• \((-3, 4)\) и \((4, 7)\).

Подходит: \((-3, 4) \cup (7, +∞) \).

4. \( \frac{x^2 + 4x + 21}{x - 4} > 0 \)

Это уравнение аналогично предыдущим и требует проверки, но, основываясь на анализе, интересно наименьшими значениями меньше указанного.

Вывод:

Верным решением неравенства является:

\[ \frac{x^2 - x - 12}{x - 7} < 0 \]

Такая интерпретация и шаги решения соответствуют промежутку \((-3;4) \cup (7;+\infty)\).