Чтобы найти объем и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.
Шаг 1: Параметры призмы
Для правильной треугольной призмы:
- Сторона основания треугольника ( a = 6 ) см.
- Высота призмы ( h = 12√3 ) см.
Шаг 2: Объем призмы
Объем призмы ( V ) можно найти по формуле:
[
V = S_{осн} \cdot h
]
где ( S_{осн} ) — площадь основания призмы, а ( h ) — высота призмы.
2.1: Площадь основания
Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставляем ( a = 6 ) см:
[
S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2
]
2.2: Вычисляем объем
Теперь подставим найденную площадь основания и высоту в формулу объема:
[
V = 9\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3}
]
[
V = 9 \cdot 12 \cdot 3 = 324 \text{ см}^3
]
Шаг 3: Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности ( S ) призмы вычисляется по формуле:
[
S = 2 S_{осн} + S_{бок}
]
где ( S_{бок} ) — площадь боковой поверхности.
3.1: Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту:
[
S_{бок} = P \cdot h
]
где ( P ) — периметр основания.
Периметр правильного треугольника:
[
P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}
]
Теперь вычисляем площадь боковой поверхности:
[
S_{бок} = 18 \cdot 12\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \text{ см}^2
]
3.2: Площадь полной поверхности
Теперь подставим все значения в формулу площади полной поверхности:
[
S = 2 \cdot (9\sqrt{3}) + 216\sqrt{3}
]
[
S = 18\sqrt{3} + 216\sqrt{3} = 234\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Итог
В итоге, мы получили следующие результаты:
- Объем призмы ( V = 324 \text{ см}^3 )
- Площадь полной поверхности ( S = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 )
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по отдельным этапам, не стесняйтесь спрашивать!
