Найдите объем и площадь полной поверхности призмы. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, высота призмы равна 12√3 см.

Чтобы найти объем и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Параметры призмы

Для правильной треугольной призмы:

• Сторона основания треугольника \( a = 6 \) см.
• Высота призмы \( h = 12√3 \) см.

Шаг 2: Объем призмы

Объем призмы \( V \) можно найти по формуле: \[ V = S_{осн} \cdot h \] где \( S_{осн} \) — площадь основания призмы, а \( h \) — высота призмы.

2.1: Площадь основания

Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставляем \( a = 6 \) см: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (6)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

2.2: Вычисляем объем

Теперь подставим найденную площадь основания и высоту в формулу объема: \[ V = 9\sqrt{3} \cdot 12\sqrt{3} \] \[ V = 9 \cdot 12 \cdot 3 = 324 \text{ см}^3 \]

Шаг 3: Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности \( S \) призмы вычисляется по формуле: \[ S = 2 S_{осн} + S_{бок} \] где \( S_{бок} \) — площадь боковой поверхности.

3.1: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы равна периметру основания, умноженному на высоту: \[ S_{бок} = P \cdot h \] где \( P \) — периметр основания.

Периметр правильного треугольника: \[ P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см} \]

Теперь вычисляем площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = 18 \cdot 12\sqrt{3} = 216\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

3.2: Площадь полной поверхности

Теперь подставим все значения в формулу площади полной поверхности: \[ S = 2 \cdot (9\sqrt{3}) + 216\sqrt{3} \] \[ S = 18\sqrt{3} + 216\sqrt{3} = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Итог

В итоге, мы получили следующие результаты:

• Объем призмы \( V = 324 \text{ см}^3 \)
• Площадь полной поверхности \( S = 234\sqrt{3} \text{ см}^2 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по отдельным этапам, не стесняйтесь спрашивать!