Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150.

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, давайте разберём это пошагово.

Шаг 1: Определение чисел

Сначала найдем все натуральные числа, которые кратны 4 и не превышают 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где:

• Первое число, кратное 4, — это 4.
• Последнее число, кратное 4, — это 148 (поскольку 152 уже превышает 150).

Шаг 2: Определение общего числа членов прогрессии

Числа, кратные 4, от 4 до 148 можно выразить как: \[ 4, 8, 12, 16, ..., 148 \]

Это последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего на 4. Мы можем заметить, что это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 4 \) и разностью \( d = 4 \).

Теперь найдем количество членов (n) в этой прогрессии. Последний член можно найти по формуле: \[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \] Подставляя известные значения: \[ 148 = 4 + (n-1) \cdot 4 \]

Шаг 3: Решение уравнения

Решим это уравнение для n: \[ 148 - 4 = (n-1) \cdot 4 \\ 144 = (n-1) \cdot 4 \\ n-1 = \frac{144}{4} \\ n-1 = 36 \\ n = 37 \]

Таким образом, в арифметической прогрессии 37 членов.

Шаг 4: Формула для суммы арифметической прогрессии

Сумма (S) первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена с помощью формулы: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Шаг 5: Подставление значений

Теперь подставим известные значения:

• \( n = 37 \)
• \( a_1 = 4 \)
• \( a_n = 148 \)

Теперь найдем сумму: \[ S_{37} = \frac{37}{2} \cdot (4 + 148) \\ S_{37} = \frac{37}{2} \cdot 152 \\ S_{37} = 37 \cdot 76 \\ S_{37} = 2812 \]

Итог

Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, составляет 2812.