Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, давайте разберём это пошагово.
Шаг 1: Определение чисел
Сначала найдем все натуральные числа, которые кратны 4 и не превышают 150. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, где:
- Первое число, кратное 4, — это 4.
- Последнее число, кратное 4, — это 148 (поскольку 152 уже превышает 150).
Шаг 2: Определение общего числа членов прогрессии
Числа, кратные 4, от 4 до 148 можно выразить как:
[ 4, 8, 12, 16, ..., 148 ]
Это последовательность, где каждый следующий член больше предыдущего на 4. Мы можем заметить, что это арифметическая прогрессия с первым членом ( a_1 = 4 ) и разностью ( d = 4 ).
Теперь найдем количество членов (n) в этой прогрессии. Последний член можно найти по формуле:
[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d ]
Подставляя известные значения:
[ 148 = 4 + (n-1) \cdot 4 ]
Шаг 3: Решение уравнения
Решим это уравнение для n:
[
148 - 4 = (n-1) \cdot 4 \
144 = (n-1) \cdot 4 \
n-1 = \frac{144}{4} \
n-1 = 36 \
n = 37
]
Таким образом, в арифметической прогрессии 37 членов.
Шаг 4: Формула для суммы арифметической прогрессии
Сумма (S) первых n членов арифметической прогрессии может быть найдена с помощью формулы:
[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) ]
Шаг 5: Подставление значений
Теперь подставим известные значения:
- ( n = 37 )
- ( a_1 = 4 )
- ( a_n = 148 )
Теперь найдем сумму:
[
S_{37} = \frac{37}{2} \cdot (4 + 148) \
S_{37} = \frac{37}{2} \cdot 152 \
S_{37} = 37 \cdot 76 \
S_{37} = 2812
]
Итог
Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превышающих 150, составляет 2812.
