Пример 3. На заводе микроэлектроники 8% микросхем производятся с браком. Система контроля, через которую проходят все микросхемы, выявляет этот брак с вероятностью 0,95. Какой…
Пример 3. На заводе микроэлектроники 8% микросхем производятся с браком. Система контроля, через которую проходят все микросхемы, выявляет этот брак с вероятностью 0,95. Какой процент микросхем попадает к заказчику? С какой вероятностью схема, поступившая к заказчику, будет бракованной?
Для решения данной задачи используем теорию вероятностей, в частности, понятия условий и вероятностей.
Дано:
- Вероятность брака микросхем \( P(B) = 0.08 \) (8%).
- Вероятность того, что система контроля идентифицирует бракованную микросхему \( P(C|B) = 0.95 \) (95% — это вероятность, что брак будет выявлен).
Находим вероятность того, что микросхема невидима для системы контроля (не выявляется):
Вероятность того, что система не выявляет бракованную микросхему: \[ P(C^c|B) = 1 - P(C|B) = 1 - 0.95 = 0.05 \] Это значит, что 5% бракованных микросхем не будут обнаружены.
Теперь найдем полное распределение для доброкачественных и бракованных микросхем, которые попадают к заказчику.
Процент бракованных микросхем, которые не были обнаружены: \[ P(B \cap C^c) = P(B) \cdot P(C^c|B) = 0.08 \cdot 0.05 = 0.004 \] То есть 0.4% от всех микросхем.
Процент доброкачественных микросхем (\( P(NB) \)): \[ P(NB) = 1 - P(B) = 1 - 0.08 = 0.92 \] Это вероятность того, что микросхема не бракованная.
Из них все доброкачественные микросхемы проходят контроль: \[ P(NB \cap C) = P(NB) = 0.92 \] То есть 92% от всех микросхем.
Находим процент микросхем, которые попадают к заказчику: Суммируем все доброкачественные и бракованные, которые не были обнаружены: \[ P(C) = P(NB \cap C) + P(B \cap C^c) = 0.92 + 0.004 = 0.924 \] Это значит, что 92.4% микросхем проходят контроль и попадают к заказчику.
Вероятность того, что попавшая к заказчику микросхема будет бракованной: Используем формулу условной вероятности: \[ P(B|C) = \frac{P(B \cap C^c)}{P(C)} = \frac{0.004}{0.924} \approx 0.00433 \] То есть вероятность того, что микросхема, которая попадает к заказчику, является бракованной, составляет примерно 0.433%.
Итого:
- Процент микросхем, попадающих к заказчику: 92.4%
- Вероятность того, что схема, поступившая к заказчику, будет бракованной: примерно 0.433%.
